Ringkasan Barisan dan Deret - umptn

(A). Pengertian Barisan

       Misalkan ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, … $

(i). Barisan Aritmetika: Selisih sama antara dua suku yang berdekatan, disebut dengan beda ($b$).
       $ b = u_n – u_{n-1} = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = … $

(ii). Barisan Geometri: Perbandingan dua suku yang berdekatan sama, disebut rasio ($r$).
       $ r = \frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{…}{…} $

       Untuk contoh detail dari pengertian barisan aritmetika dan barisan
geometri, silahkan Pembaca kunjungi link berikut ya:

Barisan dan deret Aritmetika

Barisan dan deret Geometri

Contoh soal umptn:

1). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$
adalah …
A). 2
B). 4
C). 5
D). 6
E). 7

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c – b \Rightarrow a+c = 2b \, $ …pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ …per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*}
a+b+c &=b^2-4 \\
(a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\
2b + b &= b^2-4 \\
b^2-3b-4 & = 0 \\
(b-4)(b+1) & = 0 \\
b=4 \, & \vee \, b=-1
\end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $

2). Soal SPMB 2007 MatDas
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, maka luasnya
adalah ….
A). 216
B). 363
C). 364
D). 383
E). 432

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit \, $ Misalkan sisinya : $a-b, a, a+b \, \, \, $ (seperti gambar 11a di bawah)

$\begin{align}
\text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\
(a-b) + a + (a+b) & = 72 \\
3a & = 72 \rightarrow a = 24
\end{align}$
Substitusi $a=24 $ ke segitiga seperti gambar 11b
$\spadesuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga
$\begin{align}
(24+b)^2 & = 24^2 + (24-b)^2 \\
(24+b)^2 – (24-b)^2 & = 24\times 24 \\
[(24+b)-(24-b)][(24+b)+(24-b)] & = 24\times 24 \\
2b \times 48 & = 24\times 24 \rightarrow b = 8
\end{align}$
Sehingga : tinggi = 24 dan alas = 24 – b = 24 – 6 = 18
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Triple pythagoras yang membentuk barisan aritmetika : 3, 4, 5

$\begin{align}
\text{Keliling} \, \Delta & = 72 \\
3x+4x+5x & = 72 \\
12x & = 72 \rightarrow x = 6
\end{align}$
Sehingga : tinggi = $4x=4.6=24 \, \, $ dan alas = $3x=3.6 = 18 $
Luas $\Delta = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.18.24 = 216 $
Jadi, luas segitiganya adalah 216. $ \heartsuit $

3). Soal UM UGM 2016 MatDas 571
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 – (3p-2)x + ( 2p+8) = 0 \, $
adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ p \, $ positif dan
$ x_1, p , x_2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + p + x_2 = …. $
A). $ -11 \, $
B). $ -10 \, $
C). $ 12 \, $
D). $ 13 \, $
E). $ 14 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat (PK) :
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $,
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan (rasio) yang sama antara dua suku berdekatan.

*). Diketahui PK : $ x^2 – (3p-2)x + (2p+8) = 0 \, $ , akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ a = 1, \, b = -(3p-2) , \, $ dan $ c = (2p+8) $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(3p-2)]}{1} = 3p – 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2p+8}{1} = 2p+8 $
*). Barisan geometri : $ x_1, \, p, \, x_2 $
Perbandingan sama :
$ \begin{align}
\frac{p}{x_1} & = \frac{x_2}{p} \\
p^2 & = x_1.x_2 \\
p^2 & = 2p+8 \\
p^2 – 2p – 8 & = 0 \\
(p+2)(p-4) & = 0 \\
p = -2 \vee p & = 4
\end{align} $
Yang memenuhi $ p = 4 \, $ karena positif.
Sehingga nilai : $ x_1 + x_ 2 = 3p – 2 = 3.4 – 2 = 10 $.
*). Menentukan hasil dari $ x_1 + p + x_ 2 $
$ x_1 + p + x_ 2 = (x_1 + x_2) + p = 10 + 4 = 14 $.
Jadi, nilai $ x_1 + p + x_ 2 = 14 . \, \heartsuit $

(B). Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$) dan suku tengah ($u_t$)

(i). Rumus suku ke-$n$ :
       Aritmetika: $ u_n = a + (n-1)b $
       Geometri: $ u_n = ar^{n-1} $

Keterangan:
$ a = \, $ suku pertama ($u_1$)
$ b = \, $ beda barisan aritmetika
$ r = \, $ rasio barisan geometri
$ u_n = \, $ suku ke-$n $

(ii). Rumus suku tengah:
       Aritmetika: $ u_t = \frac{a + u_n}{2} $
       Geometri: $ u_t = \sqrt{a \times u_n} $
Keterangan:
$ u_n = \, $ suku terakhirnya
$ u_t = \, $ suku tengahnya
Barisan memiliki suku tengah jika banyak sukunya ganjil.

Contoh soal umptn:

4). Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku barisan itu adalah …
A). 5
B). 7
C). 9
D). 11
E). 13

5). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} – 2 $ ,
maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = …. $
A). $ \frac{2}{k} \, $
B). $ \frac{3}{k} \, $
C). $ \frac{4}{k} \, $
D). $ \frac{6}{k} \, $
E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} – 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align}
U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} – 2 \\
a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) – 2 \\
a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) – 2 \\
a + kb + b & = a+b + ka + 15kb – 2 \\
ka + 14kb & = 2 \\
k(a + 14b) & = 2 \\
a + 14b & = \frac{2}{k}
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align}
& U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\
& = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\
& = 4a + 56b
= 4( a + 14b) \\
& = 4. \frac{2}{k}
= \frac{8}{k}
\end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $

6). Soal SNMPTN 2009 MatDas 283
Berdasarkan penelitian diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta.
Banyak populasi hewan A pada tahun 1960 sekitar … juta.
A). 64
B). 32
C). 16
D). 8
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = a.r^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai unsur-unsurnya :
* $a=U_1 \, $ menyatakan suku pertama pada tahun 1960.
* Setiap 10 tahun berkurang setengahnya, artinya rasio : $r = \frac{1}{2}$
* tahun 2000 dari tahun 1960 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000.
* Tahun 2000 populasinya 1 juta, artinya $U_5 = 1$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ :
$\begin{align}
U_5 & = ar^{5-1} \\
1 & = a \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 \\
1 & = a \times \left( \frac{1}{16} \right) \\
a & = 16
\end{align}$
Jadi, populasi tahun 1960 sebesar 16 juta. $\heartsuit $

7). Soal SNMPTN 2010 MatIPA 526
Diberikan barisan $U_n=\left\langle -1,1,-1,1,… \right\rangle $ dengan $n$ bilangan asli. Semua yang berikut merupakan
rumus umum untuk barisan itu, kecuali ….
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Cek setiap pilihan dengan menggantikan nilai $n$
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,… \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ….$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $

8). Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan
suku kedua dari barisan tersebut adalah …..
A). 1 : 1
B). 2 : 5
C). 3 : 5
D). 4 : 5
E). 5 : 4

9). Soal SBMPTN 2016 MatIPA 246
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika
$ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka
$ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= …. $
A). $ \frac{10}{9} \, $
B). $ 3 \, $
C). $ \frac{10}{3} \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 10 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align}
\frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\
\frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\
\frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\
\frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\
r^2 & = 9 \\
r & = 3
\end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align}
\frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2} \\
& = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(r+r^2)} \\
& = \frac{1 + r+r^2+r^3}{r+r^2} \\
& = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{3+3^2} \\
& = \frac{1 + 3+9+27}{3+9} \\
& = \frac{40}{12} \\
& = \frac{10}{3}
\end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $

10). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua
tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikali 2, maka
terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmatika adalah 2,
maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah …
A). $ 8 \, $
B). $ 20 \, $
C). $ 24 \, $
D). $ 30 \, $
E). $ 36 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, …. $
*). Barisan aritmetika memiliki selisih dua suku berdekatan sama.
$ u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = u_4 – u_3 = u_5 – u_4 = … $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan dua suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = \frac{u_5}{u_4} = …. $

*). Diketahui beda dari barisan aritmetika $ = 2 $ , sehingga 4 suku barisan aritmetikanya yaitu :
$ a, a + 2, a + 4 , a + 6 $
*). Barisan aritmetika di atas mengalami perubahan sehingga membentuk barisan geometri yaitu :
$ a, a + 2, a+4 + a, 2(a+6) $
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
*). Menentukan nilai $ a $ dari barisan geometrinya :
$\begin{align}
\frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\
\frac{a+2}{a} & = \frac{2a+4}{a+2} \\
a(2a+4) & = (a+2)^2 \\
2a^2 + 4a & = a^2 + 4a + 4 \\
a^2 & = 4 \\
a & = 2
\end{align} $
-). Sehingga barisan geometrinya :
$ a, a + 2, 2a+4, 2a+ 12 $
$ 2, 4, 8, 16 $
*). Menentukan jumlah keempat suku barisan geometrinya :
$\begin{align}
\text{jumlah } & = 2 + 4 + 8 + 16 = 30
\end{align} $
Jadi, jumlah suku-sukunya adalah $ 30 . \, \heartsuit $

(C). Sisipan

       Awalnya terdapat barisan : $ u_1, u_2, u_3, … $
Kemudian disisipkan $ k $ suku atau $ k $ bilangan diantara dua suku yang berdekatan, sehingga
diperoleh barisan baru.
$ \underbrace{u_1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_2}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}}
\, \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_3}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}}
\, \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, u_4}_{\text{sisipkan } k \text{ suku}}
\, \, \, \, … \, … $

Diperoleh beda baru ($b^*$) dan rasio baru ($r^*$):
$ b^* = \frac{b}{k+1} $
$ r^* = \sqrt[k+1]{r} \, $ atau $ r^* = r^\frac{1}{k+1} $

Keterangan:
$ b^* = \, $ beda baru
$ r^* = \, $ rasio baru
$ b = \, $ beda awal
$ r = \, $ rasio awal

Contoh soal umptn:

11). Soal UMB 2008 MatDas 441
Jika di antara 7 dan 448 disisipkan lima bilangan positif sehingga membentuk suatu barisan geometri,
maka jumlah suku kedua dan suku keenamnya sama dengan … ?
A). 126
B). 231
C). 238
D). 455
E). 462

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menenentukan rasio awal
$ r = \frac{448}{7} = 64 $
*). Menentukan rasio baru dengan $ k = 5 $
$ r^* = \sqrt[k+1]{r} = \sqrt[5+1]{64} = \sqrt[6]{64} = 2 $
Sehingga barisannya menjadi:
$ \underbrace{7, \, 14}_{\times 2} \, \underbrace{, \, 28 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 56 }_{\times 2}
\, \underbrace{, \, 112 }_{\times 2} \, \underbrace{, \, 224 }_{\times 2} \,
\underbrace{, \, 448 }_{\times 2} $
Artinya $ u_2 = 14 $ dan $ u_6 = 224 $
Nilai $ u_2 + u_6 = 14 + 224 = 238 $.
Jadi, nilai $ u_2 + u_6 = 238. \heartsuit $

(D). Rumus Jumlah $ n $ Suku Pertama ($s_n$)

(i). Deret Aritmetika:
       (1). $ s_n = \frac{n}{2} (a + u_n) $

       (2). $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $

       (3). $ s_n = n. u_t $

(ii). Deret Geometri:
       $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \, $ untuk $ r > 1 $
       $ s_n = \frac{a(1 – r^n )}{1 – r} \, $ untuk $ r < 1 $

(iii). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $ :
       untuk $ n = 1 \rightarrow u_1 = s_1 $
       untuk $ n > 1 \rightarrow u_n = s_n – s_{(n-1)} $

(iv). Khusus deret Aritmetika:
Bentuk umum $ s_n $ nya yaitu : $ s_n = pn^2 + qn $
dengan beda: $ b = 2p $

Contoh soal umptn:

12). Soal SBMPTN 2014 MatDas 613
Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1.
Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah …
A). 17
B). 35
C). 37
D). 40
E). 60

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $u_n=a+(n-1)b \, \, $ dan $\, s_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$u_4+u_5=55 \Rightarrow (a+3b)+(a+4b)=55 \Rightarrow 2a+7b=55 \, \text{…pes(i)} $
$u_9-2u_2=1 \Rightarrow (a+8b)-2(a+b)=1 \Rightarrow -a+6b=1 \, \text{…pes(ii)} $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) , diperoleh $a=17$ dan $b=3$
$\clubsuit \, $ Jumlah 3 suku pertama ($s_3$) :
$s_3=\frac{3}{2}(2a+(3-1)b) \Rightarrow s_3=\frac{3}{2}(2.17+2.3) \Rightarrow s_3= 60$

Jadi, Jumlah 3 suku pertama adalah 60. $\heartsuit $

13). Soal UTBK 2019 Saintek
Suku pertama barisan aritmetika adalah $ a $ dan bedanya $ 2a $. Jika nilai $ U_1 + U_2 + U_3+U_4+U_5 = 100 $ ,
maka nilai $ U_2 + U_3 + U_4 + … + U_{20} = …. $
A). $ 1590 \, $
B). $ 1596 \, $

C). $ 1600 \, $
D). $ 1690 \, $
E). $ 1700 $

14). Soal UM UGM 2014 MatDas 522
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3.
Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah …
A). $ -10n + n^2 $
B). $ 11n + n^2 $
C). $ 12n – n^2 $
D). $ -10n – n^2 $
E). $ 8n – n^2 $

15). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika $S_n=5n^2-6n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka suku ke-5 barisan tersebut adalah …
A). 51
B). 41
C). 39
D). 29
E). 20

16). Soal SPMB 2006 MatDas
Jika jumlah $n $ suku pertama deret aritmetika adalah $ S_n = 2n^2+3n $ , maka beda deretnya adalah ….
A). 2
B). 3
C). 4
D). 5
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$U_n = S_n – S_{n-1} , \, \, \, U_1 = S_1 , \, \, $ dan $ b = U_2-U_1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $U_1 \, \, $ dan $U_2 $
$U_1 = S_1 = 2.1^2+3.1 = 2 + 3 = 5 $
$S_2 = 2.2^2+3.2 = 8 + 6 = 14 $
$U_2=S_2 – S_1 = 14 – 5 = 9 $
sehingga : $b = U_2-U_1 = 9 – 5 = 4 $

Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep : $S_n = pn^2+qn \rightarrow b = 2p $
$S_n = 2n^2+3n \rightarrow b = 2\times 2 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $

17). Soal SBMPTN 2018 MatIPA 451
Jika $ a+2, \, a – 2, \, 2 $ membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin
adalah …?
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ a $ :
Perbandingan dua suku berdekatan sama:
$ \begin{align}
\frac{a-2}{a+2} & = \frac{2}{a-2} \\
(a-2)(a-2) & = 2(a+2) \\
a^2 – 4a + 4 & = 2a + 4 \\
a^2 – 6a & = 0 \\
a(a – 6 ) & = 0 \\
a = 0 \vee a & = 6
\end{align} $
-). Untuk $ a = 0 $ , barisannya menjadi:
$ a + 2, \, a – 2, \, 2 $
$ 0 + 2, \, 0 – 2, \, 2 $
$ 2, \, -2, \, 2 , \, $ …
dengan $ r = \frac{-2}{2} = -1 $
Karena $ r = -1 $, maka barisan sampai suku ke-11:
$ 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2 , 2 $
Jika dijumlahkan :
$ s_{11} = 2+(-2)+ 2+(-2)+2+(-2)+2+(-2)+2+(-2)+2 = 2 $
$ s_{11} = 2 $
Karena sudah ada di optionnya, maka tidak perlu menghitung $ s_{11} $ untuk $ a = 6 $.
Jadi, nilai $ s_{11} = 2. \heartsuit $

(E). Deret Geometri Tak Hingga

       Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + …. \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $.
Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1
c). Jika $ r

Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah
       $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya
bukan $ +\infty \, $ atau $ – \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ – \infty $

       Untuk contoh mendetail tentang deret geometri tak hingga,
silahkan teman-teman kunjungi link:

Deret Geometri Tak Hingga

Contoh soal umptn:

18). Soal SPMK UB 2013 MatIPA
Jika $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + … = 2x $ , maka nilai $x$ yang mungkin adalah ….
(1). $-\sqrt{2} $       (2). -2       (3). $\sqrt{2}$       (4). 2
(Gunakan Petunjuk C untuk menjawab soal ini)

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus dasar deret geometri tak hingga : $S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Bentuk $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + … $ adalah deret geometri tak hingga
dengan $ a = x \, $ dan $\, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} $
$\begin{align*}
x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + … & = S_\infty \\
& = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1- \frac{1}{x^2} } \\
x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + … & = \frac{x^3}{x^2-1}
\end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukana nilai $x$
$\begin{align*}
x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + … & = 2x \\
\frac{x^3}{x^2-1} & = 2x \, \, \text{(bagi } \, x ) \\
\frac{x^2}{x^2-1} & = 2 \rightarrow x^2 = 2x^2 – 2 \\
x^2 & = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2}
\end{align*}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x= \sqrt{2} \, \text{atau} \, x = -\sqrt{2} . \heartsuit $

(F). Deret Tak Hingga Genap dan Ganjil

       Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 …. \, $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align}
s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 …. \\
s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+… ) + (u_2 + u_4 + u_6 ….) \\
s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}}
\end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.

Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align}
s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+… \\
& = a + ar^2 + ar^3 +… \\
& \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\
& \left( \text{suku pertama} = a \right) \\
& = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\
s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 – r^2}
\end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 – r^2} $
$ \begin{align}
s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+… \\
& = ar + ar^3 + ar^5 +… \\
& \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\
& \text{suku pertama} = ar \\
& = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\
s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 – r^2}
\end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 – r^2} $

Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align}
\frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\
& = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\
& = \frac{ar}{1 – r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\
& = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 – r^2)} \\
\frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r
\end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Contoh soal umptn:

19). Soal SBMPTN 2013 MatIPA 326
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+…$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ ,
$u_2+u_4+u_6…=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah …
A). $ \frac{1}{4} $
B). $ \frac{1}{3} $
C). $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D). $ \frac{1}{2} $
E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6…=4$
$\begin{align*}
u_2+u_4+u_6… & = 4 \\
S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\
\frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\
ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{…pers(i)}
\end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*}
u_2+u_4 & = 3 \\
ar + ar^3 & = 3 \\
ar(1+r^2) & = 3 \\
ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{…pers(ii)}
\end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*}
ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{…pers(i)} \\
\frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\
3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\
3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\
3 & = 4 – 4(r^2)^2 \\
4(r^2)^2 & = 4 – 3 \\
4(r^2)^2 & = 1 \\
(r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\
r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2}
\end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $

20). Soal UMB 2008 MatDas 270
Jumlah semua suku bernomor ganjil dari deret geometri tak hingga adalah 4. Jika jumlah deret itu adalah 6, maka jumlah dua suku pertamanya adalah …
A). $ \frac{15}{4} $
B). $ \frac{27}{8} $
C). $ \frac{9}{2} $
D). $ \frac{9}{8} $
E). $ \frac{7}{8} $

(G). Kejadian Bola dan Ayunan

       Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan
dua kasus yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas
       Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :

keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $
dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align}
\text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\
PL & = s_\infty + s_\infty \\
PL & = 2s\infty \\
PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\
PL & = \frac{2a}{1-r}
\end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
       Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya
saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :

Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang
lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty – a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a $

Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
       Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.

Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$),
setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 – r} = 2. \frac{ar}{1 – r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 – r} = 2. \frac{ar^2}{1 – r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 – r} = 2. \frac{ar^3}{1 – r} $
dan seterusnya …..
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 – r} = 2. \frac{ar^k}{1 – r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
                     $ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 – r} $

Untuk kejadian pada ayunan, panjang lintasannya:
PL $ = s_\infty = \frac{a}{1-r} $

Contoh soal umptn:

21). Soal UMPTN 2000 MatDas
Sebuah bola pingpong dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat
dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai berhenti adalah …
A). 3,38 meter
B). 3,75 meter
C). 4,25 meter
D). 6,75 meter
E). 7,75 meter

(H). Penerapan pada Bunga Bank

(i). Rumus Bunga Tunggal :
       $ M_n = M_o (1 + n \times i ) $

(ii). Rumus Bunga Majemuk :
       $ M_n = M_o (1 + i )^n $

Keterangan:
$ M_n = \, $ tabungan/pinjaman/modal akhir
$ M_o = \, $ tabungan/pinjaman/modal awal
$ n = \, $ periode lama menabung
$ i = \, $ suku bunga dalam persen.

Contoh soal umptn:

22). Soal UTBK 2019 Saintek
Budi menabung di bank dengan saldo awal A dengan sistem bunga majemuk, 3 tahun kemudian saldonya menjadi B. Wati
menabung di bank yang sama dengan saldo awal $ x $, saldo Wati 6 tahun kemudian menjadi 3 kali dari saldo
akhir Budi. Besarnya saldo awal Wati adalah ….
A). $ \frac{2A^2}{B} \, $
B). $ \frac{3A^2}{B} \, $
C). $ 4AB^2 \, $
D). $ \frac{A^2}{4B} \, $
E). $ \frac{A^2}{2B} $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi
soal-soal Barisan dan Deret seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :
Kumpulan
soal Barisan dan Deret seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Barisan dan Deret – umptn dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link
Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika.
Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar
dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Ringkasan Pertidaksamaan Soshum - umptn

         Andelina – Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum – umptn beserta
soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK,
UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal
pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Pertidaksamaan ini. Untuk soal-soal Pertidaksamaan kita bagi menjadi dua
bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya
dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum – umptn ini
bisa teman-teman kuasai dengan baik.

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan

       Langkah – langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ – $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ – $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2

Cara Lain :
Metode SUKA : Substitusis Angka dari optionnya.

       Untuk penjelasan mendetail tentang pertdaksamaan secara umum dan langkah-langkah umum ini beserta contoh soalnya, silahkan
kunjungi link :
Pertidaksamaan secara umum
Pada artikel tersebut, juga dijelaskan tentang tanda ketaksamaan, cara menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan, dan juga
tentang cara mengiriskan atau menggabungkan dua himpunan atau lebih.

Pertidaksamaan Linier

       Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.

$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $

$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )

       Untuk contoh detail pertidaksamaan linier, Pembaca bisa kunjungi link :
Pertidaksaman Linear.

Pertidaksamaan Kuadrat

       Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca
pada materi “Pertidaksamaan secara umum”

$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau
definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 – 4ac $

       Untuk contoh detail pertidaksamaan kuadrat, Pembaca bisa kunjungi link :
Pertidaksaman Kuadrat.

Contoh soal umptn:

1. Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Semua nilai $x$ yang memenuhi $(x+1)(x+2)\geq (x+2)$ adalah ….
A). $ x \leq -1 \, $ atau $ x \geq 1 $
B). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 0 $
D). $ -1 \leq x \leq 1 $
E). $ -2 \leq x \leq 0 $

2. Soal SPMK UB 2013 MatIpa 21
Jika himpunan bilangan real merupakan penyelesaian pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 $ maka …
A). $ a > 5 $
B). $ a > 6 $
C). $ a > 7 $
D). $ a
E). $ a

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
Pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 \rightarrow x^2-4x+a-2 > 0 \, \, $ terpenuhi untuk semua $x$ ,
artinya nilainya selalu positif untuk sembarang nilai $x$ yang disebut definit positif.
Syarat definit positif : $D 0 $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ x^2-4x+a-2 \rightarrow a = 1, b = -4 , c = a-2 $
$\begin{align*}
a=1 & > 0 \, \, \, \text{(memenuhi syarat definit positif)} \\
D 6
\end{align*}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a > 6 . \heartsuit $

3. Soal SPMK UB 2010 MatIpa 96
Jika pertidaksamaan $ 3x -p > \frac{x-2}{3} + px \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 5 , \, $
maka nilai $ 3p \, $ adalah ….
A). 5
B). 6
C). 7
D). 8
E). 9

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\spadesuit \, $Kelompokkan pertidaksamaan
$\begin{align}
3x -p & > \frac{x-2}{3} + px \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\
9x – 3p & > x-2 + 3px \\
9x – x – 3px & > 3p – 2 \\
(8-3p)x & > 3p – 2 \\
x & > \frac{3p-2}{8-3p} \, \, \, \, \text{…pert(i)}
\end{align}$
Solusi pertidaksamaan $ x > 5 \, $ , artinya bentuk $ x > \frac{3p-2}{8-3p} \, $ sama dengan $ x > 5 \, $ , sehingga
diperoleh $ \frac{3p-2}{8-3p} = 5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align}
\frac{3p-2}{8-3p} & = 5 \\
3p-2 & = 5(8-3p) \\
3p-2 & = 40 – 15p \\
18p & = 42 \\
p & = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}
\end{align}$
Sehingga $ 3p = 3 \times \frac{7}{3} = 7 $
Jadi, nilai $ 3p = 7 . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Solusi pertidaksamaan $ x > 5 , \, $ artinya $ x = 5\, $ adalah akar dari pertidaksamaannya. Substitusi
$ x= 5 \, $ ke pertidaksamaanya dan tanda ketaksamaanya $ ( > , \, \geq , \, \leq , \, < ) \, $ menjadi sama dengan.
$\begin{align}
x=5 \rightarrow 3x -p & > \frac{x-2}{3} + px \\
3.5 -p & = \frac{5-2}{3} + p.5 \\
15 -p & = \frac{3}{3} + 5p \\
15 -p & = 1 + 5p \\
6p & = 14 \\
p & = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
\end{align}$
Sehingga $ 3p = 3 \times \frac{7}{3} = 7 $
Jadi, nilai $ 3p = 7 . \heartsuit $

Pertidaksamaan Pecahan (Rasional)

       Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca
pada materi “Pertidaksamaan secara umum“. Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar
penyebutnya.

$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.

$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau
definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 – 4ac $

Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda
ketaksamaan dibalaik.

       Untuk contoh mendetail tentang pertidaksamaan pecahan, silahkan
kunjungi link:

Pertidaksamaan pecahan

Contoh soal umptn:

4). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} \leq 0 $ adalah …
A). $ -\frac{1}{2} < x < 3 $
B). $ -3 \leq x < \frac{1}{2} $
C). $ x \leq – \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
D). $ x < – \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -3 \, $ atau $ x > \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Definit positif , Syaratnya : $a > 0 $ dan Diskriminan ($D < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Bentuk $ x^2+1 $ :
nilai $a=1 > 0$ dan $D=b^2-4ac = 0^2 – 4.1.1 = -4 < 0 $ .
Ini artinya $ x^2+1 $ adalah definit positif (akan selalu positif untuk semua $x$) .
Karena bentuknya definit positif, maka boleh dicoret tanpa membalik tanda.
Begitu juga bentuk $ x^2-x+3 $ adalah definit positif.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align}
\frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \, \, (x^2+1) \, \text{dan} \, (x^2-x+3) \, \text{dicoret} \\
\frac{1}{(2x^2-5x-3)} & \leq 0 \\
\frac{1}{(2x +1)(x – 3)} & \leq 0 \\
x = – \frac{1}{2} \, & \vee \, x=3
\end{align} $

Akar penyebut tidak boleh ikut, sehingga bolong seperti pada gambar.
Jadi, solusinya adalah HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\
\frac{0^2-0+3}{(2.0^2-5.0-3)(0^2+1)} & \leq 0 \\
-1 & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)}
\end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah C, D, dan E.
$\begin{align*}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\
\frac{1^2-1+3}{(2.1^2-5.1-3)(1^2+1)} & \leq 0 \\
-\frac{1}{6} & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)}
\end{align*}$
yang ada $x=1$ benar, opsi yang salah adalah B.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$

5). Soal UTBK 2019 Soshum
Jika penyelesaian $ \frac{x^2 – 2x – 3 }{x^2 + x + 3}
A). $ -3 \, $
B). $ -2 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 2 \, $
E). $ 3 $

Pertidaksamaan Bentuk Akar

       Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca
pada materi “Pertidaksamaan secara umum“. Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.

$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $

$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $

       Untuk contoh yang mendetail tentang pertidaksamaan bentuk akar, silahkan kunjungi link berikut:

Pertidaksamaan bentuk akar

Contoh soal umptn:

6). Soal SBMPTN 2014 MatDas 613
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^2-2x} < \sqrt{3x+6} \, $ adalah …
A). $ -2 < x < 6 $
B). $ -2 < x \leq 0 \, $ atau $ x \geq 2 $
C). $ x \geq -2 $
D). $ -2 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $
E). $ -1 < x \leq 0 \, $ atau $ 2 \leq x < 6 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaan :
$\begin{align*}
( \sqrt{x^2-2x} )^2 &

$HP_1=\{ -1
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar :
$\sqrt{x^2-2x} \geq 0 \Leftrightarrow x^2-2x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-2) \geq 0 \Leftrightarrow x=0 \, \text{atau} \, x=2 $

$HP_2=\{ x \leq 0 \, \text{atau} \, x\geq 2 \} $

$\sqrt{3x+6} \geq 0 \Leftrightarrow 3x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 $
$HP_3=\{ x \geq -2 \} $
sehingga solusinya :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ -1
Jadi, $HP=\{ -1

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} &
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align*}
\text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} &
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah B dan D.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu
$HP=\{ -1

7). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Himpunan penyelesaian $ x – \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah …
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $

C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $

E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Solusi syarat bentuk $ x – \sqrt{6-x} \geq 0 $ :
Soalnya bisa diubah menjadi : $ x \geq \sqrt{6-x} $
yang sama dengan bentuk : $ f(x) \geq \sqrt{g(x)} $
Sehingga solusi syaratnya :
-). Pertama : $ g(x) \geq 0 \rightarrow 6-x \geq 0 \rightarrow -x \geq -6 \rightarrow x \leq 6 $
-). Kedua : $ f(x) \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
-). Yang memenuhi kedua syarat ini yaitu :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 6 \} $
*). Solusi umum dengan mengkuadratkan :
$\begin{align}
x – \sqrt{6-x} & \geq 0 \\
x & \geq \sqrt{6-x} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\
x^2 & \geq 6-x \\
x^2 + x – 6 & \geq 0 \\
(x+3)(x-2) & \geq 0 \\
x = -3 \vee x & = 2
\end{align} $
-). garis bilangannya :
 

-). Karena pada soal $ \geq 0 $ , solusinya daerah positif
$ HP_2 = \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} $
*). Solusi Total :
$\begin{align}
HP & = HP_1 \cap HP_2 \\
& = \{ 0 \leq x \leq 6 \} \cap \{ x \leq -3 \vee x \geq 2 \} \\
& = \{ 2 \leq x \leq 6 \}
\end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya $ \{ 2 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x – \sqrt{6-x} & \geq 0 \\
0 – \sqrt{6-0} & \geq 0 \\
– \sqrt{6} & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang salah adalah C dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow x – \sqrt{6-x} & \geq 0 \\
-3 – \sqrt{6-(-3)} & \geq 0 \\
-3 – \sqrt{9} & \geq 0 \\
– 6 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x= -3 $ SALAH, opsi yang salah adalah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah D (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} . \heartsuit$

Pertidaksamaan Bentuk Mutlak

(i). Definisi Nilai Mutlak
       Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
              $ |x| =
\left\{ \begin{array}{cc}
x & , x \geq 0 \\
-x & , x
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.

(ii). Sifat-sifat nilai mutlak
       Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk
nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $

       Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan nilai mutlak, silahkan kunjungi link :

Pertidaksamaan nilai mutlak

Contoh soal umptn:

8). Soal UTBK 2019 Soshum
Nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+1| + 2x < 7 $ adalah ….
A). $ x < -1 \, $
B). $ x > 0 \, $
C). $ x > 1 \, $
D). $ x < 2 \, $
E). $ x < 7 $

9). Soal UTBK 2019 Soshum
Bentuk $ | 6 – 3x |
A). $ | x – 1 |
B). $ 2|x-3|
C). $ |x-2|
D). $ 0
E). $ -6

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Berdasarkan sifat :
$ |f(x)| < k \rightarrow -k < f(x) < k $
*). Mengubah soal berdasarkan sifat nilai mutlak:
$ \begin{align}
| 6 – 3x | & < 6 \\
-6 < 6 – 3x & < 6 \, \, \, \, ( – 6) \\
-6 – 6 < 6 – 3x – 6 & < 6 – 6 \\
-12 < – 3x & < 0 \, \, \, \, \, ( : -3) \\
4 > x & > 0 \\
0 < x & < 4 \\
0 < x & < 4 \, \, \, \, ( – 2) \\
0 – 2 < x – 2 & < 4 – 2 \\
– 2 < x – 2 & < 2 \\
| x – 2 | & < 2
\end{align} $
Jadi, ekuivalen dengan $ |x – 2 | < 2. \heartsuit $

10). Soal SBMPTN 2017 MatDas 224
Jika himpunan penyelesaian $ |2x – a|
A). $ -4 \, $
B). $ -3 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align}
|2x – a| & < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat nilai mutlak)} \\
-5 < & 2x – a < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan } a) \\
-5 + a < & 2x – a + a < 5 + a \\
-5 + a < & 2x < 5 + a \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\
\frac{-5 + a}{2} < & x < \frac{5 + a}{2}
\end{align} $
Dimana bentuk terakhir di atas sama dengan $ -1 < x < 4 $, sehingga :
$ \frac{-5 + a}{2} = -1 \rightarrow -5 + a = -2 \rightarrow a = 3 $
$ \frac{5 + a}{2} = 4 \rightarrow 5 + a = 8 \rightarrow a = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

Cara II :
*). Solusinya adalah $ -1 < x < 4 $, artinya akar-akarnya adalah $ x = -1 $ dan $ x = 4 $, kita substitusikan ke pertidaksamaannya :
$\begin{align}
x = -1 \rightarrow |2x – a| & < 5 \\
|2. (-1) – a| & = 5 \\
-2 – a & = \pm 5 \\
-2 – a = 5 & \vee -2 – a = -5 \\
a = -7 & \vee a = 3 \\
x = 4 \rightarrow |2x – a| & < 5 \\
|2. 4 – a| & = 5 \\
8 – a & = \pm 5 \\
8 – a = 5 & \vee 8 – a = -5 \\
a = 3 & \vee a = 13
\end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang memenuhi keduanya adalah $ a = 3 $.
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

11). Soal UM UGM 2015 MatDas 622
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 \, $ adalah ….
A). $ -1
B). $ x > -1 $
C). $ x > -2 $
D). $ -2
E). $ -2

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{x+2} \, $ , syaratnya $ x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{(x+2)^2} \, $ , syaratnya $ (x+2)^2 \geq 0 \rightarrow x \in R \, $ (terpenuhi untuk semua bilangan real).
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq -2 \} $.
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pertidaksamaan dari $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 $
Akar pembilangnya :
$\begin{align}
(x^2-9)\sqrt{x+2} & = 0 \\
x^2 – 9 & = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3 \\
\sqrt{x+2} & = 0 \rightarrow x + 2 = 0 \rightarrow x = -2
\end{align}$
Akar penyebutnya :
$\begin{align}
x+\sqrt{(x+2)^2} & = 0 \\
x+ (x + 2) & = 0 \\
2x & = -2 \\
x & = -1
\end{align}$
Garis bilangan dari semua akar-akarnya.

Akar penyebutnya tidak boleh ikut (bulatannya tidak penuh).
Dari gari bilangan, solusinya adalah daerah yang diarsir (daerah negatif karena $ \leq 0 $).
$ HP_2 = \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align}
HP & = HP_1 \cap HP_2 \\
& = \{ x \geq -2 \} \cap \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} \\
& = \{ -1 < x \leq 3 \}
\end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\
\frac{(4^2-9)\sqrt{4+2}}{x+\sqrt{(4+2)^2}} & \leq 0 \\
\frac{(7)\sqrt{6}}{4 + 6} & \leq 0 \\
\frac{7\sqrt{6}}{10} & \leq 0 \, \, \text{(salah)}
\end{align}$
yang ada $x=4$ salah, opsi yang salah adalah B, C dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\
\frac{((-1)^2-9)\sqrt{(-1)+2}}{(-1)+\sqrt{(-1+2)^2}} & \leq 0 \\
\frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+\sqrt{(1)^2}} & \leq 0 \\
\frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+1} & \leq 0 \\
\frac{(-8)\sqrt{1}}{0} & \leq 0 \, \, \text{(salah)}
\end{align}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A.
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

12). Soal SBMPTN 2016 MatDas 347
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x – 1
A). $ x
B). $ x
C). $ x > 0 \, $
D). $ x
E). $ -1

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I :
*). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
$\begin{align}
x – 1 & < \frac{2}{|x|} \\
x – 1 – \frac{2}{|x|} & < 0 \\
\frac{|x|(x – 1)}{|x|} – \frac{2}{|x|} & < 0 \\
\frac{|x|(x – 1) – 2}{|x|} & < 0
\end{align} $
*). Nilait mutlak berdasarkan definisinya :
-). Untuk $ x \geq 0 $ , maka $ |x| = x $
$\begin{align}
\frac{|x|(x – 1) – 2}{|x|} & < 0 \\
\frac{x(x – 1) – 2}{x} & < 0 \\
\frac{x^2 – x – 2}{x} & < 0 \\
\frac{(x+1)(x-2)}{x} & < 0
\end{align} $
Akar-akarnya : $ x = -1, \, x = 2, \, $ dan $ x = 0 $
gambar garis bilangannya 

Karena $ x \geq 0 $ , maka solusinya HP1 = $ \{ 0 < x < 2 \} $
-). Untuk $ x < 0 $ , maka $ |x| = -x $
$\begin{align}
\frac{|x|(x – 1) – 2}{|x|} & < 0 \\
\frac{(-x)(x – 1) – 2}{(-x)} & < 0 \\
\frac{x^2 – x + 2}{x} & < 0
\end{align} $
Bentuk $ x^2 – x + 2 \, $ adalah definit positif karena nilai $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ , sehingga bisa diabaikan,
pertidaksamaan menjadi :
$\begin{align}
\frac{x^2 – x + 2}{x} & < 0 \\
\frac{1}{x} & < 0
\end{align} $
HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cup $ HP2 = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow x – 1 &
yang ada $x=1$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan B.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow x – 1 &
yang ada $x=-2$ BENAR, opsi yang salah adalah C dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu
$ -1

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi
soal-soal pertidaksamaan seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :

Kumpulan soal pertidaksamaan seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Pertidaksamaan Soshum – umptn dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link
Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika.
Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar
dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Ringkasan Logaritma - umptn

         Andelina – Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Logaritma – umptn beserta
soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK,
UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal
pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Logaritma ini. Untuk soal-soal Logaritma kita bagi menjadi dua
bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya
dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Logaritma – umptn ini
bisa teman-teman kuasai dengan baik.

Definisi Logaritma

Adapun bentuk umum Logaritma dan Definisinya :
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
               atau
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b $
dengan $ a , \, b, \, c $ bilangan real ($ R $) dan $ a > 0, \, a \neq 1, \, b > 0 $

Keterangan :
$ a \, $ disebut bilangan pokok atau basis
$ b \, $ disebut numerus
$ c \, $ disebut hasil logaritma

       Untuk contoh mendetail tentang definisi logaritma, silahkan Pembaca kunjungi link berikut ya:

Definisi Logaritma

Contoh soal umptn:

1). Soal UM UGM 2014 MatDas 522
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=…$
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

2). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{43}$ , maka nilai $a$ adalah …
A). $ \frac{1}{8} $
B). $ \frac{1}{4} $
C). 4
D). 8
E). 16

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Rumus dasar :

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ dan $\, a^m . a^n = a^{m+n} $
Definisi logaritma : $^b \log a = c \Leftrightarrow a = b^c $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align}

6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\

2.3.(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \, \, (\text{dibagi } \, 3^{41} \, ) \\

\frac{2.(3^{41})(^2 \log a)}{3^{41}}+ \frac{ 3^{41}(^2 \log a) }{3^{41}} & = \frac{3^{43}}{3^{41}} \\

2.(^2 \log a) + (^2 \log a) & = 3^2 \\

3.(^2 \log a) & = 9 \\

(^2 \log a) & = 3 \\

a & = 2^3 \\

a & = 8

\end{align}$
Jadi, nilai $a=8 . \, \heartsuit $

Sifat-sifat Logaritma

       Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :
i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b – {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ akibatnya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , akibatnya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $

       Untuk contoh mendetail tentang sifat-sifat logaritma, silahkan
kunjungi link berikut:

Sifat-sifat Logaritma

Contoh soal umptn:

3). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika ${}^{2}\log 3 = x$ dan ${}^{3}\log 7 = y$ , maka nilai ${}^{3}\log 14 $ adalah …
A). $ \frac{xy}{x+y} $
B). $ \frac{xy+y}{x} $
C). $ \frac{xy}{y+1} $
D). $ \frac{xy+1}{x} $
E). $ \frac{xy+1}{y} $

4). Soal SPMB 2004 MatDas
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 – \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = …. $
A). $ \frac{1}{2} $
B). 1
C). 2
D). 4
E). 5

5). Soal UTBK 2019 Soshum
Jika $ \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} = m \, $ dan $ \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} = n, \, $
dengan $ a > 1 \, $
dan $ b > 1, \, $ maka $ \frac{m}{n} = ….. $
A). $ {}^2 \log 3 $
B). $ {}^3 \log 2 $
C). $ {}^4 \log 9 $
D). $ {}^3 \log ^2 2 $
E). $ {}^2 \log ^2 3 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Sifat logaritma
(i) ${}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
(ii) ${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align}
m & = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} \\
n & = \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} \rightarrow \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(dibalik)} \\
\frac{m}{n} & = m . \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} . \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(gunakan sifat (ii))} \\
& = {}^2 \log a . {}^b \log 3 . {}^2 \log b. {}^a \log 3 \, \, \text{(dikelompokkan)}\\
& = {}^2 \log a . {}^a \log 3 . {}^2 \log b . {}^b \log 3 \, \, \text{(gunakan sifat (i))} \\
& = {}^2 \log 3. {}^2 \log 3 \\
& = \left( {}^2 \log 3 \right)^2 \\
& = {}^2 \log ^2 3
\end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{m}{n} = {}^2 \log ^2 3 . \heartsuit$

$ \heartsuit $

6). Soal Simak UI 2014 MatDas 511
Jika ${}^{ab} \log a =4$, maka ${}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = …$
A). $ – 3 $
B). $ -\frac{3}{4} $
C). $ -\frac{1}{6} $
D). $ \frac{29}{42} $
E). $ \frac{17}{6} $

7). Soal SBMPTN 2013 MatDas 228
Jika $ \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } = 2 $ dan ${}^{xy}\log w = \frac{2}{5} $ ,
maka nilai $\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } \, $ adalah …
A). 8
B). 6
C). 4
D). 2
E). 1

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align}
\frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\
{}^w \log x & = 2 \, \, \, \, \text{…pers(i)} \\
{}^{xy}\log w & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\
{}^w \log (xy) & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\
{}^w \log x + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(dari pers(i))} \\
2 + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \\
{}^w \log y & = \frac{5}{2} – 2 \\
{}^w \log y & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\
{}^y \log w & = \frac{2}{1} = 2
\end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align}
\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } & = {}^y \log w \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\
& = 2
\end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } = 2 . \heartsuit $

8). Soal UTBK 2019 Soshum
Hasil dari $ \left( {}^{c^3}\log b^4 \right) \left( {}^{a^2}\log c^5 \right)
\left( {}^{b^\frac{1}{2} }\log a^7 \right) $ adalah …
A). $ \frac{160}{3} $
B). $ \frac{157}{3} $
C). $ \frac{151}{3} $
D). $ \frac{140}{3} $
E). $ \frac{137}{3} $

9). Soal UM UGM 2006 MatIPA
Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan
$ 5^{{}^5 \log (4x^2 + 3)} + 4^{{}^2 \log (x^2 – 1) } = 39 $ , maka $ a + b = …. $
A). $ 5 \, $
B). $ \sqrt{5} + \sqrt{7} \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 0 \, $
E). $ -2 \, $

Persamaan Logaritma

       Untuk $ a, \, b \in R , \, a > 0 , \, b > 0 , \, $ dan $ a \neq 1 , \, $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :
(i). $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
(ii). $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0, \, g(x) > 0 , \, h(x) > 0, \, $ dan $ h(x) \neq 1 $
(iii). $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
(iv). $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , \, $ solusinya semua yang memenuhi
    1). $ f(x) = g(x) $
    2). $ h(x) = 1 $
    dengan syarat : $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $

       Untuk contoh mendetail tentang persamaan logaritma, silahkan kunjungi
link berikut:

Persamaan Logaritma

Contoh soal umptn:

10). Soal Selma UM 2014 MatDas 141
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \log x = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 – \frac{1}{3} \log 27 \, \, $ adalah ….
A). 4
B). 5
C). 6
D). 7
E). 8

11). Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( {}^{2} \log x \right)^2 + {}^{2} \log x=6$, maka $x_1x_2=…$
A). 2
B). $ \frac{1}{2} $
C). $ \frac{1}{8} $
D). $ -3 $
E). $ -6 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Misalkan $p={}^{2} \log \, x $
$\begin{align*}
\left( {}^{2} \log \, x \right)^2 + {}^{2} \log\, x &=6 \\
p^2+p&=6 \\
p^2+p-6 &= 0 \\
(p-2)(p+3) &= 0 \\
p=2 \, & \text{atau} \, p=-3
\end{align*}$
$p=2 \Rightarrow {}^{2} \log \, x = 2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x_1=4$
$p=-3 \Rightarrow {}^{2} \log \, x = -3 \Rightarrow x=2^{-3} \Rightarrow x_2=\frac{1}{8}$
sehingga , $x_1.x_2=4.\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$
Jadi, $x_1.x_2= \frac{1}{2}. \heartsuit$

12). Soal SPMB 2003 MatDas
Nilai $x \, $ yang memenuhi persamaan : $\left( {}^4 \log x \right)^2 – {}^2 \log \sqrt{x} – \frac{3}{4} = 0 \, \, $
adalah ….
A). 16 atau 4
B). 16 atau $ \frac{1}{4} $
C). 8 atau 2
D). 8 atau $ \frac{1}{2} $
E). 8 atau 4

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {{}^a}^n \log b^n = {}^a \log b $
Misalkan : $ p = {}^4 \log x $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align}
\left( {}^4 \log x \right)^2 – {}^2 \log \sqrt{x} – \frac{3}{4} & = 0 \\
\left( {}^4 \log x \right)^2 – {{}^2}^2 \log (\sqrt{x})^2 – \frac{3}{4} & = 0 \\
\left( {}^4 \log x \right)^2 – {}^4 \log x – \frac{3}{4} & = 0 \\
p^2 – p – \frac{3}{4} & = 0 \, \, \text{(kali 4)} \\
4p^2 – 4p – 3 & = 0 \\
(2p+1)(2p-3) & = 0 \\
p=-\frac{1}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = (4)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\
p=\frac{3}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x = (4)^\frac{3}{2} = 8
\end{align}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah 8 dan $ \frac{1}{2} . \heartsuit $

13). Soal SBMPTN 2014 MatDas 663
Jika $ {}^{p^2 + 4} \log 2 = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} , \, $ dengan $ p > 0 \, $ maka $ p + {}^{p^2 } \log 16 = …. $
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4

14). Soal SPMK UB 2013 MatDas 21
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = … $
A). 2
B). 1
C). 0
D). $ -1 $
E). $ -2 $

15). Soal SBMPTN 2018 MatDas 527
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi
$ \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 = 4 $ , maka nilai
$ x_1 x_2 $ adalah …
A). $ 8 \, $
B). $ \frac{64}{9} \, $
C). $ -\frac{8}{9} \, $
D). $ -\frac{64}{9} \, $
E). $ -\frac{80}{9} $

Pertidaksamaan Logaritma

       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $
bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :

*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.

       Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan logaritma, silahkan
kunjungi link berikut:

Pertidaksamaan Logaritma

Contoh soal umptn:

16). Soal SPMB 2005 MatDas
Nilai $x \, \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) > -1 \, \, $ adalah ….
A). $ -2 < x < 0 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
B). $ -2 < x < 3 $
C). $ x > -2 $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
E). $ 0 < x < 1 $

17). Soal UM UGM 2017 MatIPA 713
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
$ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $
adalah ….
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $

C). $ \frac{1}{2}

D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $

E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
*). Pertidaksamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) \, $ untuk $ 0 < a < 1 $.
Syarat dari $ {}^a \log b $ adalah $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $.
*). Sifat ligaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b^n $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $

*). Solusi syaratnya dari $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ :
$ \begin{align}
-). & \, 2x – 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} \\
-). & \, 2 – x > 0 \rightarrow x < 2 \\
-). & \, x > 0
\end{align} $
Sehingga syaratnya : $ HP_1 = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} $.
*). menyelesaikan pertidaksamaan logaritmanya :
$\begin{align}
{}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\
{}^\frac{1}{2} \log (2x-1)(2 – x) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\
{}^\frac{1}{2} \log (-2x^2 + 5x – 2) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\
(-2x^2 + 5x – 2) & \leq x^2 \\
-3x^2 + 5x – 2 & \leq 0 \\
\text{(kali -1, tanda dibalik)} & \\
3x^2 – 5x + 2 & \geq 0 \\
(3x – 2)(x-1) & \geq 0 \\
x = \frac{2}{3} \vee x & = 1
\end{align} $
garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} $.
*). Solusi totalnya adalah irisan kedua HP :
$\begin{align}
HP & = HP_1 \cap HP_2 \\
& = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} \cap \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} \\
& = \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \}
\end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
-). Untuk $ x $ negatif pasti salah karena numerus dari $ {}^\frac{1}{2} \log x $ tidak boleh negatif,
opsi yang salah B dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\
{}^\frac{1}{2} \log (2.2-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – 2) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \\
{}^\frac{1}{2} \log 3 + {}^\frac{1}{2} \log 0 & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah D.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=\frac{3}{2} \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\
{}^\frac{1}{2} \log (2.\frac{3}{2}-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 – \frac{3}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\
{}^\frac{1}{2} \log (2) + {}^\frac{1}{2} \log (\frac{1}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\
-1 + 1 & \geq {}^\frac{1}{2} \log \frac{9}{4} \\
0 & \geq \text{ Hasil negatif} \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x= \frac{3}{2}$ BENAR, opsi yang salah A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2}

18). Soal UTBK 2019 Saintek
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 – \log _a x \, – 2 > 0 $ dengan
$ 0
A). $ x a^{-1} $
B). $ x a^{-2} $
C). $ a^2
D). $ a^2
E). $ a^{-2}
19). Soal UTBK 2019 Saintek
Untuk $ 0
A). $ {}^a \log 2
B). $ – {}^a \log 2
C). $ -{}^a \log 2
D). $ x 0 $
E). $ x 0 $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi
soal-soal Logaritma seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :
Kumpulan
soal Logaritma seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Logaritma – umptn dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link
Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika.
Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar
dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.