Solusi Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol “Lihat Solusi” di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi Pembaca.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika tiga bilangan berbeda $ x, y $ , dan $ z $ membentuk barisan geometri, maka
$ \frac{1}{x-y} – \frac{1}{y-z} = …. $
A). $ \frac{1}{x} \, $
B). $ – \frac{1}{y} \, $
C). $ \frac{1}{z} \, $
D). $ \frac{1}{x+z} \, $
E). $ \frac{1}{x – z} $

2). Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama
dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69, maka jumlah suku ke-4
dan ke-5 adalah ….
A). $ 31 \, $
B). $ 33 \, $

C). $ 37 \, $
D). $ 41 \, $
E). $ 46 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan aritmetika :
*). Rumus suku-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada tujuh suku : $ U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_6,U_7 $
*). jumlah tiga suku pertama = 33 :
$\begin{align}
U_1 + U_2 + U_3 & = 33 \\
a + (a+b) + (a+2b) & = 33 \\
3a + 3b & = 33 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\
a + b & = 11 \, \, \, \, \, \text{….pers(i)}
\end{align} $
*). jumlah tiga suku terakhir = 69 :
$\begin{align}
U_5 + U_6 + U_7 & = 69 \\
(a + 4b) + (a+5b) + (a+6b) & = 69 \\
3a + 15b & = 69 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\
a + 5b & = 23 \, \, \, \, \, \text{….pers(ii)}
\end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc}
a + 5b = 23 & \\
a + b = 11 & – \\
\hline
4b = 12 & \\
b = 3 &
\end{array} $
Pers(i): $ a + b = 11 \rightarrow a + 3 = 11 \rightarrow a = 8 $
*). Jumlah $ U_4 $ dan $ U_5 $ :
$\begin{align}
U_4 + U_5 & = (a + 3b) + (a + 4b) \\
& = 2a + 7b = 2.8 + 7.3 \\
& = 16 + 21 = 37
\end{align} $
Jadi, nilai $ U_4 + U_5 = 37 . \, \heartsuit $

3). Jumlah penduduk suatu kota tiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut hasil sensus,
pada tahun 2005 jumlah penduduk kota tersebut adalah 3,2 juta orang. Ini berarti
bahwa pada tahun 1955 jumlah penduduk kota itu baru mencapai:
A). 80 ribu orang

B). 100 ribu orang

C). 120 ribu orang

D). 160 ribu orang

E). 200 ribu orang

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Pertumbuhan penduduk :
$ \, \, \, \, \, \, P = P_0 \times (r)^\frac{T}{t} $
Keterangan :
$ P = \, $ jumlah penduduk akhir setelah T waktu,
$ P_0 = \, $ jumlah penduduk awal,
$ r = \, $ rasio (kelipatan pertumbuhan),
$ t = \, $ periode pertumbuhan,
$ T = \, $ lama waktu yang diminta.
(Rumus pertumbuhan ini diperoleh dari barisan geometri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Pertumbuhan menjadi 2 kali lipat : $ r = 2 $,
-). Pertumbuhan penduduk setiap 10 tahun : $ t = 10 $
-). Dari 1955 sampai 2005 ada 50 tahun : $ T = 50 $
-). Jumlah penduduk awal di tahun 1955 adalah $ P_0 $.
-). Jumlah penduduk di tahun 2005 : $ P = 3,2 \, $ juta = 3.200.000
*). Menentukan jumlah penduduk di tahun 1955 ($P_0$) :
$ \begin{align}
P & = P_0 \times (r)^\frac{T}{t} \\
3.200.000 & = P_0 \times (2)^\frac{50}{10} \\
3.200.000 & = P_0 \times (2)^5 \\
3.200.000 & = P_0 \times 32 \\
P_0 & = \frac{3.200.000}{32} \\
& = 100.000
\end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 1955 adalah $ 100.000 . \, \heartsuit $

4).

$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC
sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya.
Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $,
$ \Delta A_1B_1C_1 $ , $ \Delta B_2A_1C_1 $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan
seterusnya adalah ….
A). $ \frac{600}{8} \, $
B). $ \frac{600}{9} \, $
C). $ 60 \, $

D). $ 50 \, $
E). $ \frac{600}{16} $

Cara 1:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = …. $
*). Dua bangun sebangun maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 – AB^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Segitiga $ B_1AC $ sebangun dengan segitiga ABC :
Sehingga perbandingannya : $ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} $
-). Panjang $ AB_1 $
$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} \rightarrow \frac{AB_1}{6} = \frac{8}{10} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena segitiga berikutnya juga sebangun dengan segitiga ABC, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + …. $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + …. $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align}
& L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + …. \\
& = S_\infty \\
& = \frac{a}{1-r}
= \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\
& = \frac{24}{ \frac{9}{25}}
= 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9}
\end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $

cara 2:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = …. $
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 – AB^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Misalkan sudut ACB $ = x $
$ \sin x = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} $ dan $ \cos x = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} $
*). Perhatikan segitiga $ B_1AC $ siku-siku di $ B_1 $ dan $ ACB_1 = x $ :
-). Panjang $ AB_1 $
$ \sin x = \frac{AB_1}{AC} \rightarrow \frac{6}{10} = \frac{AB_1}{8} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \cos x = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena panjang sisi segitiga berikutnya dapat diperoleh dari nilai $ \sin x $ dan $ \cos x $, maka luasnya segitiganya
membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + …. $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + …. $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align}
& L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + …. \\
& = S_\infty \\
& = \frac{a}{1-r}
= \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\
& = \frac{24}{ \frac{9}{25}}
= 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9}
\end{align} $
Jadi, total luas segitiga adalah $ \frac{600}{9} . \, \heartsuit $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, sebaiknya Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini dilakukan
pengerjaannya secara rutin yaitu setiap harinya, karena setiap soal maraton hanya berisi 4 soal saja. Kerjakan dulu soal-soalnya dengan sungguh-sungguh terlebih
dulu, setelah itu baru cocokkan jawabannya pada Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek pada link yang tersedia.

Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika tiga bilangan berbeda $ x, y $ , dan $ z $ membentuk barisan geometri, maka
$ \frac{1}{x-y} – \frac{1}{y-z} = …. $
A). $ \frac{1}{x} \, $
B). $ – \frac{1}{y} \, $
C). $ \frac{1}{z} \, $
D). $ \frac{1}{x+z} \, $
E). $ \frac{1}{x – z} $

2). Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama
dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69, maka jumlah suku ke-4
dan ke-5 adalah ….
A). $ 31 \, $
B). $ 33 \, $
C). $ 37 \, $
D). $ 41 \, $
E). $ 46 $

3). Jumlah penduduk suatu kota tiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut hasil sensus,
pada tahun 2005 jumlah penduduk kota tersebut adalah 3,2 juta orang. Ini berarti
bahwa pada tahun 1955 jumlah penduduk kota itu baru mencapai:
A). 80 ribu orang
B). 100 ribu orang
C). 120 ribu orang
D). 160 ribu orang
E). 200 ribu orang

4).

$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC
sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya.
Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $,
$ \Delta A_1B_1C_1 $ , $ \Delta B_2A_1C_1 $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan
seterusnya adalah ….
A). $ \frac{600}{8} \, $
B). $ \frac{600}{9} \, $
C). $ 60 \, $

D). $ 50 \, $
E). $ \frac{600}{16} $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal
lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar
yang harus dipahami oleh Pembaca.

A). Jenis-jenis bilangan

       Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk penghitungan (pencacahan dan pengukuran).

a). Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)
       Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang dimulai dari 1.
Bilangan Asli : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }

b). Bilangan Cacah
       Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) dan 0 (nol).
Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….}

c). Bilangan Bulat Negatif
       Bilangan Bulat Negatif adalah himpunan bilangan bulat yang nilainya lebih kecil dari 0 (sebelah kiri nol).
Bilangan Bulat negatif : $\{…. ,-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$

d). Bilangan Bulat
       Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang bukan berbentuk pecahan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol,
dan bilangan bulat positif.
Bilangan bulat : B = $\{ …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\} $

e). Bilangan Ganjil
       Bilangan Ganjil adalah himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.
Contoh : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ….}

f). Bilangan Genap
       Bilangan Genap adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2.
Contoh : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ….}

g). Bilangan Prima
       Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

h). Bilangan Komposit
       Bilangan Komposit adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi tidak hanya 1 dan bilangan itu
sendiri (memiliki lebih dari dua faktor).
Contoh bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ….}

i). Bilangan Rasional
       Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan
bilangan bulat serta $ b \neq 0 $.
Contoh bilangan rasional : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8} , \frac{9}{2},$ dan lain-lain

j). Bilangan Irrasional
       Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$
merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0 $. Bilangan irrasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional.
Contoh bilangan irrasional : $ \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

k). Bilangan Real
       Bilangan Real adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contoh Bilangan real : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8}, \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

l). Bilangan Imajiner
       Bilangan Imajiner adalah himpunan bilangan yang berbentuk $ i = \sqrt{-1} $.
Contoh : $ 2\sqrt{-1}=2i , -5i, \frac{1}{5}i , \sqrt{2}i,$ dan lain-lain

m). Bilangan Kompleks
       Bilangan Kompleks adalah himpunan bilangan real dan bilangan imajiner.
Contoh : $3-i, 1+2i , 5i+\frac{1}{5} ,$ dan lain-lain

B). Operasi Bilangan

       Untuk semua jenis bilangan, ada beberapa operasi yang bisa diterapkan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Sifat-sifat bilangan ganjil dan genap :
ganjil + ganjil = genap ,
genap + genap = genap ,
ganjil + genap = ganjil ,
genap + ganjil = ganjil ,
ganjil $ – $ ganjil = genap ,
genap $ – $ genap = genap ,
ganjil $ – $ genap = ganjil ,
genap $ – $ ganjil = ganjil ,
ganjil $ \times $ ganjil = ganjil ,
genap $ \times $ genap = genap,

ganjil $ \times $ genap = genap ,
genap $ \times $ ganjil = genap.

C). Sifat-sifat operasi bilangan

       Berikut beberapa sifat-sifat operasi bilangan:

(1). sifat komutatif (pertukaran)
       $a+b=b+a$ dan $a \times b=b \times a$
(2). sifat asosiatif (pengelompokkan)
       $ (a+b)+c=a+(b+c) $
       $(a\times b)\times c=a\times (b\times c) $
(3). sifat distributif (penyebaran)
       $a(b+c)=a\times b+a\times c$
       $a(b-c)=a\times b-a\times c $
(4). sifat identitas (nol dan satu)
       $ a+0=0+a=a $
       $ a\times 1=1\times a=a $
(5). sifat invers
       $a+(-a)=(-a)+a=0 $
       $ a\times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a=1, \, a\neq0$ (bilangan non bulat)

D). Sifat urutan bilangan bulat

       Beberapa sifat urutan pada bilangan bulat yang harus dipahami.

(1). Untuk setiap dua bilangan bulat $a$ dan $b$, berlaku
satu dan hanya satu dari berikut:
       $a b$
(2). Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat maka $a \pm b$ juga
merupakan bilangan bulat
(3). Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat maka $a \times b $
juga merupakan bilangan bulat
(4). Jika $a 0$ maka berlaku:
       (i). $a+c
       (ii). $ a – c
       (iii). $ a\times c
(5). Jika $a

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah nilai $a+b+c$?

Contoh 2:
Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x < y < z$.
Jika $ a =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)}$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah …?

Contoh 3:
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :
a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!
b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah nilai $a+b+c$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). karena $ c $ bilangan prima dan $c=17(b-a)$, maka haruslah $ b – a = 1 $, sehingga
$ c = 17 \times 1 = 17 $.
*). untuk $ b – a = 1 $ , hanya terpenuhi saat $ b = 3 $ dan $ a = 2 $.
Nilai $ a + b + c = 2 + 3 + 17 = 22 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 22 . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan genap berurutan selalu memiliki selisih 2 antara dua bilangan berdekatan. Misalkan
bilangan awalnya adalah $ a $, maka bilangan genap berurutan bisa kita tulis sebagai:
$ a, a+2, a+4, a+6, …. $
dengan $ a $ merupakan bilangan genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan bilangan genap $ x, y, z $ yaitu:
$x = a, y= a+2, z = a+4 $.
Sehingga:
$ z – x = (a + 4) – (a) = 4 $
$ y – x = (a+2) – (a) = 2 $
$ z – y = (a+4) – (a+2) = 2 $

*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align}
a & =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)} \\
& = \frac{4 \times 2}{2} \\
& = 4
\end{align} $
Jadi, nilai $ a = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :
a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!

b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap $ m $ bilangan bulat genap maka terdapat bilangan asli $ n $ sehingga $ m = 2n $.
*). Setiap $ m $ bilangan bulat ganjil maka terdapat bilangan asli $ n $ sehingga $ m = 2n – 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan

a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!
*). $ m $ genap, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n $ dengan $ n $ bilangan asli.
*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :
Misalkan $ k = 2n^2 $,
$ \begin{align}
m^2 & = (2n)^2 \\
& = 4n^2 \\
& = 2 \times ( 2n^2 ) \\
& = 2k
\end{align} $
Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2k $, ini artinya $ m^2 $ adalah bilangan genap.
Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah genap $ . \, \heartsuit $

b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!
*). $ m $ ganjil, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n – 1 $ dengan $ n $ bilangan asli.
*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :
Misalkan $ p = 2n^2 – 2n + 1 $,
$ \begin{align}
m^2 & = (2n-1)^2 \\
& = 4n^2 – 4n + 1 \\
& = (4n^2 – 4n + 1) + 1 – 1 \\
& = (4n^2 – 4n + 1 + 1) – 1 \\
& = (4n^2 – 4n + 2) – 1 \\
& = 2(2n^2 – 2n + 1) – 1 \\
& = 2 p – 1
\end{align} $
Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2p – 1 $, ini artinya $ m^2 $ adalah bilangan ganjil.
Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah ganjil $ . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Hitunglah selisih jumlah semua bilangan genap terhadap jumlah semua bilangan ganjil dari 1 sampai
2022?

2). A tree is 89 meter tall. The depth of a well is 165 meter below the ground level. Find the distance
a part from the bottom of the well to the top of the tree?

3). Pada tes Kimia, skor untuk jawaban benar adalah 2, jawaban salah adalah $ -1$, dan yang tidak
menjawab adalah 0. Budi menjawab benar 29 soal dan tidak menjawab 5 soal. Budi memperoleh skor 52.
Berapa banyak soal yang diujikan pada tes Kimia tersebut?

4). Diberikan angka 1 sampai 9. Isikan setiap kotak dengan angka berbeda agar ruas kiri sama dengan
ruas kanan.

5). Isilah persegi ajaib di bawah ini dengan menggunakan bilangan 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, dan 36
sehingga jumlah setiap kolom, baris, dan diagonal adalah sama.

6). Dalam penjumlahan di bawah ini. $a, b, c, d, e,$ dan $f$ merupakan angka-angka tunggal yang tidak
sama yang memenuhi $\overline{abc}+ \overline{def} = 1.812$. Tentukan nilai terbesar dari $(a+b+c+d+e+f)$?

7). Wati merahasiakan 3 buah bilangan. Kemudian, ia menjumlahkan setiap 2 bilangan dan hasilnya sama
dengan 15, 17, dan 20. Temukan ketiga bilangan tersebut?

8). Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:
$2022 + 2022 + 2022 + …. $ sebanyak 2024 buah bilangan 2022.

9). Tentukan nilai dari:
$ 2022 \times 20232023 – 2023 \times 20222022$

10). Tentukan semua bilangan $n$ sehingga $n$ dan $\frac{n+3}{n-1} $ keduanya merupakan bilangan
bulat!

11). Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang merupakan solusi dari
persamaan $ \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1 $

12). Tentukan semua bilangan bulat positif $m, n $ dengan $n$ bilangan ganjil yang
memenuhi $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} = \frac{1}{12} $

13). Untuk semua bilangan bulat positif, didefinisikan $x^*$ sebagai penjumlahan bilangan bulat dari
1 sampai $x$. Nilai dari $2023^* – 2022^* $ adalah …?

14). Tentukan bilangan bulat $n$ terkecil sehingga jumlah dari lima bilangan bulat ganjil berurutan
dimulai dari $n$ menghasilkan bilangan prima!

15). Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:
$2076 + 2076^2 + 2076^3 + 2076^4 + …. + 2076^{2021} + 2076^{2022} $.

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP.
(Masih dalam proses penyusunan).

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi Timer
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Solusi Soal Maraton 28 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 28 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol “Lihat Solusi” di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi Pembaca.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan
$u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = …. $
A). $ 2 \, $
B). $ 3 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 5 \, $
E). $ 6 $

2). Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya
dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali
lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun
adalah ….
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $
B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $
D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $
E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Bunga Majemuk
$ M_n = M_0 (1 + i)^n $
*). Bunga Tunggal
$ M_n = M_0 (1 + n.i) $
Keterangan :
$ M_0 = \, $ tabungan awal,
$ M_n = \, $ tabungan akhir,
$ i = \, $ besarnya bunga per periode,
$ n = \, $ lama menabung (banyak periode).
$ i $ dan $ n $ harus memiliki periode yang sama (satuan sama).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal tidak diketahui jenis bunganya (majemuk atau tunggal), tetapi jika kita lihat dari option jawabannya,
maka jenis bunganya adalah bunga majemuk. Silahkan teman-teman coba dengan perhitungan bunga tunggal, pasti tidak ada jawaban yang sesuai di
optionnya.
*). Satu periode adalah per semester, sehingga selama 5 tahun nilai $ n = 10 $, artinya $ i $ juga bunga
per semester, dengan tabungan akhir menjadi 2 kali tabungan awal yaitu $ M_n = 2M_0 $.
*). Menentukan besar bunga per semester ($i$) :
$\begin{align}
M_n & = M_0(1+i)^n \\
2\not{M_0} & = \not{M_0}(1+i)^{10} \\
2 & = (1+i)^{10} \\
\sqrt[10]{2} & = (1+i) \\
i & = \sqrt[10]{2} – 1
\end{align} $
Sehingga besarnya bunga per tahun (2 semester) adalah
$ = 2i = 2(\sqrt[10]{2} – 1 ) $.
Jadi, bunga pertahun adalah $ 2(\sqrt[10]{2} – 1 ) . \, \heartsuit $

3). Suku tengah deret aritmetika adalah 34. Jika suku pertamanya 4 dan suku ke-4 adalah
22, maka jumlah semua suku deret tersebut adalah ….
A). $ 384 \, $
B). $ 374 \, $

C). $ 264 \, $
D). $ 228 \, $
E). $ 154 $

4). Jika $ {}^2 \log (x+3), \, {}^2 \log (6x+2) $ , dan $ {}^2 \log (26x-2) $ membentuk
barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ….
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama.
Rumus Beda : $ b = U_2 – U_1 = U_3 – U_2 = …=U_n-U_{n-1} $.
*). Sifat-sifat logaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b ^n $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisan aritmetika memiliki selisih sama :
$\begin{align}
U_2 – U_1 & = U_3 – U_2 \\
2U_2 & = U_1 + U_3 \\
2. {}^2 \log (6x+2) & = {}^2 \log (x+3) + {}^2 \log (26x-2) \\
{}^2 \log (6x+2)^2 & = {}^2 \log (x+3)(26x-2) \\
{}^2 \log (36x^2 + 24x + 4) & = {}^2 \log (26x^2 + 76x – 6) \\
(36x^2 + 24x + 4) & = (26x^2 + 76x – 6) \\
10x^2 – 52x + 10 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\
5x^2 – 26x + 5 & = 0 \\
(5x – 1)(x – 5) & = 0 \\
x = \frac{1}{5} \vee x & = 5
\end{align} $
*). Menentukan Beda ($b$) berdasarkan nilai $ x $ :
$ U_1 = {}^2 \log (x+3), U_2 = {}^2 \log (6x+2), U_3 = {}^2 \log (26x-2) $
$\begin{align}
x = \frac{1}{5} \rightarrow b & = U_2 – U_1 \\
& = {}^2 \log (6. \frac{1}{5}+2) – {}^2 \log ( \frac{1}{5}+3) \\
& = {}^2 \log (\frac{16}{5}) – {}^2 \log ( \frac{16}{5}) = 0 \\
x = 5 \rightarrow b & = U_2 – U_1 \\
& = {}^2 \log (6. 5+2) – {}^2 \log ( 5+3) \\
& = {}^2 \log (32) – {}^2 \log ( 8) = 5 – 3 = 2
\end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Soal Maraton 28 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Soal Maraton 28 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, sebaiknya Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini dilakukan
pengerjaannya secara rutin yaitu setiap harinya, karena setiap soal maraton hanya berisi 4 soal saja. Kerjakan dulu soal-soalnya dengan sungguh-sungguh terlebih
dulu, setelah itu baru cocokkan jawabannya pada Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek pada link yang tersedia.

Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan
$u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = …. $
A). $ 2 \, $
B). $ 3 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 5 \, $
E). $ 6 $

2). Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya
dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali
lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun
adalah ….
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $
B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $
D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $
E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $

3). Suku tengah deret aritmetika adalah 34. Jika suku pertamanya 4 dan suku ke-4 adalah
22, maka jumlah semua suku deret tersebut adalah ….
A). $ 384 \, $
B). $ 374 \, $
C). $ 264 \, $
D). $ 228 \, $
E). $ 154 $

4). Jika $ {}^2 \log (x+3), \, {}^2 \log (6x+2) $ , dan $ {}^2 \log (26x-2) $ membentuk
barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ….
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 \, $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Solusi Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol “Lihat Solusi” di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi Pembaca.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 – bx + 1 = 0 $ adalah $ p $ dan $ 2p$, dengan $ p $ bilangan bulat.
Jika $1, \, a, \, b $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika, maka $ p = … $
A). $ 2 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ -2 \, $
E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Operasi akar-akar PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Aritmetika memiliki ciri-ciri : Selisih sama
$ U_1 , U_2, U_3, …. \, $ maka $ U_2 – U_1 = U_3 – U_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 – bx + 1 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $ , dengan $ p $ bilangan bulat,
sehingga operasi akar-akarnya :
$ \begin{align}
x_1 + x_ 2 & = \frac{-b}{a} \\
p + 2p & = \frac{-(-b)}{a} \\
3p & = \frac{b}{a} \\
p & = \frac{b}{3a} \, \, \, \, \, \, \, \text{…pers(i)} \\
x_1 . x_ 2 & = \frac{c}{a} \\
p . 2p & = \frac{1}{a} \\
2p^2 & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{…pers(ii)}
\end{align} $
*). Susbtitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align}
p = \frac{b}{3a} \rightarrow 2p^2 & = \frac{1}{a} \\
2( \frac{b}{3a} )^2 & = \frac{1}{a} \\
2( \frac{b^2}{9a^2} ) & = \frac{1}{a} \\
\frac{2b^2}{9a^2} & = \frac{1}{a} \\
a & = \frac{2}{9} b^2
\end{align} $
*). Barisan $ 1, a, b \, $ adalah aritmetika sehingga selisih sama :
$ \begin{align}
a – 1 & = b – a \\
2a & = b + 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{…pers(iii)}
\end{align} $
*). substitusi $ a = \frac{2}{9} b^2 $ ke persamaan(iii) :
$ \begin{align}
2a & = b + 1 \\
2 . \frac{2}{9} b^2 & = b + 1 \\
\frac{4}{9} b^2 & = b + 1 \\
4b^2 & = 9b + 9 \\
4b^2 – 9b – 9 & = 0 \\
(4b + 3)(b – 3) & = 0 \\
b = -\frac{3}{4} \vee b & = 3
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align}
b = -\frac{3}{4} \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\
a & = \frac{2}{9} (-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{8} \\
p & = \frac{b}{3a} = \frac{-\frac{3}{4}}{3 . \frac{1}{8} } = -2 \\
b = 3 \rightarrow a & = \frac{2}{9} b^2 \\
a & = \frac{2}{9} (3)^2 = 2 \\
p & = \frac{b}{3a} = \frac{3}{3 .2} = \frac{1}{2}
\end{align} $
Karena nilai $ p $ bulat, maka $ p = -2 $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ p = -2 . \, \heartsuit $

2). Jumlah $ n $ suku pertama barisan artimetika adalah $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $ .
Suku ke-10 barisan tersebut adalah ….
A). $ -25 \, $
B). $ -22 \, $
C). $ -20 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 22 $

3). Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ .
Bila suku ke-4 deret tersebut adalaah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ….
A). $ 192 \, $
B). $ 96 \, $
C). $ 16 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Pada Pembahasan Barisan Geometri dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 ini,
yang agak sulit kita cerna adalah kalimat pertama pada soal yaitu Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $.
Apakah yang dimaksud $ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $ atau $ \, \log (u_1+u_2+u_3+u_4+u_5) = 5\log 3 $. Manakah yang benar ?
Untuk memudahkan membedakannya, langsung saja perhatikan bentuk berikut :
Jumlah logaritma artinya $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + …. $
Logaritma jumlah sukunya adalah $ \log (u_1 + u_2 + u_3 + …) $
Sehingga yang dimaksud pada soal barisan geometri dan logaritma UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571 adalah
$ \log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 \, $.

         Langkah kedua adalah kita menyusun persamaan yang ada yaitu akan terbentuk dua persamaan yang kita
peroleh dengan menggunakan konsep logaritma dan barisan geometri. Langkah berikutnya adalah menentukan nilai suku pertama ($a$) dan rasio ($r$)
dengan substitusi atau eliminasi kedua persamaan yang sudah terbentuk. Dan terakhir, menentukan nilai suku keenamnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan Logaritma
*). Suku ke-$n$ barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) \, $ dan $ \, n{}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui besar angsuran tiap bulan adalah
Persamaan pertama :
$ \begin{align}
\text{Jumlah logaritma lima suku pertama } & = 5 \log 3 \\
\log u_1 + log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\
\log (u_1.u_2.u_3.u_4.u_5) & = \log 3^5 \\
\log (a.ar.ar^2.ar^3.ar^4) & = \log 3^5 \\
a^5r^{10} & = 3^5 \\
(ar^2)^5 & = 3^5 \\
ar^2 & = 3 \\
a & = \frac{3}{r^2}
\end{align} $
kita peroleh persaman (i) yaitu $ a = \frac{3}{r^2} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align}
u_4 = 12 \rightarrow ar^3 = 12 \, \, \, \, \, ……\text{pers(ii)}
\end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align}
ar^3 & = 12 \\
\frac{3}{r^2} \times r^3 & = 12 \\
3r & = 12 \\
r & = \frac{12}{3} = 4
\end{align} $
Dari pers(i) : $ a = \frac{3}{r^2} = \frac{3}{4^2} $
*). Menentukan nilai suku ke-6 :
$ \begin{align}
u_6 = ar^5 = \frac{3}{4^2} \times 4^5 = 3 \times 4^3 = 192
\end{align} $
Jadi, nilai suku keenam adalah 192. $ \, \heartsuit $

4). Diketahui barisan geometri $(a_n) $ dengan deret tak hingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2) $ mempunyai deret
tak hingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n) $ adalah …..
A). $ 4 \, $
B). $ 3 \, $

C). $ 2 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $

*). Menentukan rasionya :
Rasio $ = \frac{u_2}{u_1} $
*). Rumus Jumlah Takhingga Deret Geometri :
$ s_\infty = \frac{\text{Suku Pertama}}{1 – \text{Rasio}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan suku pertamanya adalah $ a $ :
*). Barisan Geometri $\{ a_n \} $ :
$\begin{align}
a_1 + a_2 + a_3 + …. & = 6 \\
a + ar + ar^2 + …. & = 6 \\
\frac{\text{Suku Pertama}}{1 – \text{Rasio}} & = 6 \\
\frac{a}{1 – r} & = 6 \\
a & = 6 – 6r \, \, \, \, \, \, \text{….pers(i)}
\end{align} $
*). Barisan Geometri $\{ a_n^2 \} $ :
$\begin{align}
a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + …. & = 18 \\
a^2 + (ar)^2 + (ar^20^2 + …. & = 18 \\
\frac{\text{Suku Pertama}}{1 – \text{Rasio}} & = 18 \\
\frac{a^2}{1 – r^2} & = 18 \\
\frac{a}{1 – r} . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\
6 . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\
\frac{a}{1 + r} & = 3 \\
a & = 3 + 3r \, \, \, \, \, \, \text{….pers(ii)}
\end{align} $
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align}
a & = a \\
3 + 3r & = 6 – 6r \\
9r & = 3 \\
r & = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\end{align} $
Pers(ii) : $ a = 3+ 3r = 3 + 3 \times \frac{1}{3} = 3 + 1 = 4 $
Jadi, suku pertamanya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek

         Blog Andelina – Hai, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Soal Maraton 27 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk Pembaca yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Untuk mendapatkan hasil yang maksimal, sebaiknya Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini dilakukan
pengerjaannya secara rutin yaitu setiap harinya, karena setiap soal maraton hanya berisi 4 soal saja. Kerjakan dulu soal-soalnya dengan sungguh-sungguh terlebih
dulu, setelah itu baru cocokkan jawabannya pada Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek pada link yang tersedia.

Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 – bx + 1 = 0 $ adalah $ p $ dan $ 2p$, dengan $ p $ bilangan bulat.
Jika $1, \, a, \, b $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika, maka $ p = … $
A). $ 2 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ -2 \, $
E). $ -4 $

2). Jumlah $ n $ suku pertama barisan artimetika adalah $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $ .
Suku ke-10 barisan tersebut adalah ….
A). $ -25 \, $
B). $ -22 \, $
C). $ -20 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 22 $

3). Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ .
Bila suku ke-4 deret tersebut adalaah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ….
A). $ 192 \, $
B). $ 96 \, $
C). $ 16 \, $
D). $ 12 \, $
E). $ 2 $

4). Diketahui barisan geometri $(a_n) $ dengan deret tak hingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2) $ mempunyai deret
tak hingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n) $ adalah …..
A). $ 4 \, $
B). $ 3 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ \frac{1}{2} $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

       Demikian artikel Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan
Pembaca ikut link
Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya.
Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.

Jenis-Jenis Bilangan Olim SD

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Jenis-Jenis Bilangan Olim SD yang biasa digunakan dalam pelajaran Matematika SD atau Olimpiade Matematika SD.
Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk penghitungan (pencacahan dan pengukuran).
Pengenalan Jenis-Jenis Bilangan sangat penting, karena akan membantu mempermudah dalam mengerjakan soal-soal olimpiade matematika. Untuk olimpiade
matematika SD, Jenis-Jenis Bilangan yang biasanya digunakan sampai bilangan real. Berikut adalah pemaparan jenis-jenis bilangannya.

a). Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)

       Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang dimulai dari 1.
Bilangan Asli : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }

b). Bilangan Cacah

       Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) dan 0 (nol).
Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….}

c). Bilangan Bulat Negatif

       Bilangan Bulat Negatif adalah himpunan bilangan bulat yang nilainya lebih kecil dari 0 (sebelah kiri nol).
Bilangan Bulat negatif : $\{…. ,-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$

d). Bilangan Bulat

       Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang bukan berbentuk pecahan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol,
dan bilangan bulat positif.
Bilangan bulat : B = $\{ …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\} $

e). Bilangan Ganjil

       Bilangan Ganjil adalah himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.
Contoh : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ….}

f). Bilangan Genap

       Bilangan Genap adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2.
Contoh : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ….}

Sifat-sifat bilangan ganjil dan genap :
ganjil + ganjil = genap ,
genap + genap = genap ,
ganjil + genap = ganjil ,
genap + ganjil = ganjil ,
ganjil $ – $ ganjil = genap ,
genap $ – $ genap = genap ,
ganjil $ – $ genap = ganjil ,
genap $ – $ ganjil = ganjil ,
ganjil $ \times $ ganjil = ganjil ,
genap $ \times $ genap = genap,

ganjil $ \times $ genap = genap ,
genap $ \times $ ganjil = genap.

g). Bilangan Prima

       Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

h). Bilangan Komposit

       Bilangan Komposit adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi tidak hanya 1 dan bilangan itu
sendiri (memiliki lebih dari dua faktor).
Contoh bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ….}

i). Bilangan Rasional

       Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan
bilangan bulat serta $ b \neq 0 $.
Contoh bilangan rasional : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8} , \frac{9}{2},$ dan lain-lain

j). Bilangan Irrasional

       Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah menjadi bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$
merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0 $. Bilangan irrasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional.
Contoh bilangan irrasional : $ \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

k). Bilangan Real

       Bilangan Real adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contoh Bilangan real : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8}, \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

l). Bilangan Imajiner

       Bilangan Imajiner adalah himpunan bilangan yang berbentuk $ i = \sqrt{-1} $.
Contoh : $ 2\sqrt{-1}=2i , -5i, \frac{1}{5}i , \sqrt{2}i,$ dan lain-lain

m). Bilangan Kompleks

       Bilangan Kompleks adalah himpunan bilangan real dan bilangan imajiner.
Contoh : $3-i, 1+2i , 5i+\frac{1}{5} ,$ dan lain-lain

CATATAN:
*). Untuk OSN atau KSN Matematika SD, jenis bilangan yang dilibatkan hanya sampai ke bentuk bilangan real saja.

Pembahasan Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Jenis-jenis Bilangan untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Soal-soal:

1). Tiga bilangan bulat dikalikan menghasilkan suatu bilangan genap positif. Berikut ini yang mungkin menjadi ciri-ciri tiga bilangan tersebut adalah …
A. Genap positif, ganjil negatif, genap negatif.
B. Genap negatif, ganjil positif, genap positif.
C. Ganjil positif, ganjil positif, genap negatif.
D. Ganjil positif, ganjil positif, ganjil negatif.
(soal OMVN)

2). Hasil kali suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah … (soal OMVN)
A). 101 B). 105 C). 111 D). 121

3). How many primes less then 100? (soal OMVN)

4). Berapa banyak bilangan prima antara 5 dan 25?
A). 4 B). 5 C). 6 D). 7
(soal JMSC L3)

5). Jumlah semua bilangan komposit antara 51 sampai dengan 64 sama dengan … (soal MCR)
A). 517 B). 175 C). 571 D). 715

6). Jika
A = banyaknya bilangan ganjil dari 1 sampai 50
dan
B = banyaknya bilangan prima dari 1 sampai 50,
maka nilai $ A – B $ = … (soal HIMSO L3)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

7). Jumlah dua bilangan prima adalah 12.345. Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….
A). 24.686 B). 22.453 C). 22.111 D). 12.345
(soal d’mop L3)

8). Banyaknya bilangan prima 2 angka yang hasil jumlah puluhan dan satuannya juga merupakan bilangan prima adalah …. (soal d’mop L3)
A). 12 B). 11 C). 10 D). 9

9). Bilangan prima dua digit yang hasil penjumlahan kedua digitnya kurang dari 6 ada sebanyak ….
A). 3 B). 4 C). 5 D). 6
(soal IMSC L3)

10). Angka 12 dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari 4 angka genap. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyusun 12 menjadi penjumlahan 4
angka genap? (soal d’mop L3)
A). 1 B). 2 C). 3 D). 4

11). Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan dari kanan sama. Contoh: 25352 adalah bilangan palindrom. Sebuah ordometer pada sebuah
mobil terbaca 15951 yang merupakan bilangan palindrom. Berapa kilometer paling sedikit mobil tersebut melakukan perjalanan, sehingga ordometer mobil
tersebut menunjukkan bilangan palindrom berikutnya. (soal Omab k5)

12). Jika $\downarrow n \downarrow $ adalah bilangan prima terbesar yang kurang dari $n$, dan $ \uparrow n \uparrow $ adalah bilangan prima terkecil yang
lebih dari $n$, maka $ \downarrow 50 \downarrow + \uparrow 50 \uparrow = …? $
A). 100 B). 98 C). 94 D). 90
(soal KMNR L3)

13). Seorang siswa menjumlahkan bilangan-bilangan prima secara berurutan mulai dari 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Ia berhenti setelah hasil penjumlahannya
melebihi 300. Bilangan terbesar yang dijumlahkan siswa itu adalah …. (soal LIMAS)
A). 43 B). 47 C). 53 D). 61 E). 67

14). A, B, dan C adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda. $ A \times B \times C $ merupakan bilangan genap dan $ A \times B \times C > 100$.
Tentukan nilai terkecil dari $ A + B + C$. (soal Omab k5)

Soal dan Solusinya:

1). Tiga bilangan bulat dikalikan menghasilkan suatu bilangan genap positif. Berikut ini yang mungkin menjadi ciri-ciri tiga bilangan tersebut adalah …
A. Genap positif, ganjil negatif, genap negatif.
B. Genap negatif, ganjil positif, genap positif.
C. Ganjil positif, ganjil positif, genap negatif.
D. Ganjil positif, ganjil positif, ganjil negatif.
(soal OMVN)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). sifat-sifat perkalian bilangan genap dan ganjil:
ganjil $ \times $ ganjil = ganjil ,
genap $ \times $ genap = genap,

ganjil $ \times $ genap = genap ,
genap $ \times $ ganjil = genap.

*). sifat perkalian bilangan negatif dan positif:
positif $ \times $ positif = positif
positif $ \times $ negatif = negatif
negatif $ \times $ positif = negatif
negatif $ \times $ negatif = positif.

$\clubsuit $ Pembahasan
A. Genap positif, ganjil negatif, genap negatif.
= genap positif
B. Genap negatif, ganjil positif, genap positif.
= genap negatif.
C. Ganjil positif, ganjil positif, genap negatif.
= genap negatif
D. Ganjil positif, ganjil positif, ganjil negatif.
= ganjil negatif.

Jadi, jawabannya opsion A $ . \, \heartsuit $

2). Hasil kali suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah … (soal OMVN)
A). 101 B). 105 C). 111 D). 121

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). kita ubah menjadi perkalian bilangan genap dan bilangan ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). bentuk perkalian dari bilangan 840 yang melibatkan bilangan genap dan ganjil yaitu:
$ 1 \times 840, 8 \times 105, 24 \times 35, 40 \times 21, $
$ 56 \times 15, 120 \times 7, 168 \times 5, 280 \times 3 $.
bilangan ganjil terbesarnya adalah 105.
Jadi, jawabannya opsion B $ . \, \heartsuit $

Cara 2:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan ganjil terbesar dari suatu bentuk perkalian akan kita peroleh dengan membagi bilangan tersebut dengan bilangan 2 secara terus menerus sehingga
hasilnya tidak bisa dibagi 2 lagi, maka bilangan terakhir tersebut adalah bilangan ganjil terbesarnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ 840 : 2 = 420 $ , $ 420 : 2 = 210 $ , $ 210 : 2 = 105 $.
105 sudah tidak habis dibagi 2, sehingga bilangan ganjil terbesarnya adalah 105.
Jadi, jawabannya opsion B $ . \, \heartsuit $

3). How many primes less then 100? (soal OMVN)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). How many primes less then 100? artinya ada berapa banyak bilangan prima yang kurang dari 100?
*). Daftar bilangan prima kurang dari 100 yaitu:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
ada 25 bilangan prima yang kurang dari 100.
Jadi, ada 25 bilangan prima $ . \, \heartsuit $

4). Berapa banyak bilangan prima antara 5 dan 25?
A). 4 B). 5 C). 6 D). 7
(soal JMSC L3)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). bilangan prima antara 5 dan 25 yaitu 7, 11, 13, 17, 19, 23
ada 6 bilangan prima.
Jadi, jawabannya opsion C $ . \, \heartsuit $

5). Jumlah semua bilangan komposit antara 51 sampai dengan 64 sama dengan … (soal MCR)
A). 517 B). 175 C). 571 D). 715

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Komposit adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi tidak hanya 1 dan bilangan itu
sendiri (memiliki lebih dari dua faktor).
Contoh bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ….}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). bilangan komposit antara 51 sampai dengan 64 yaitu 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63
jumlahnya = $ 52 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 60 + 62 + 63 = 517 $.
Jadi, jawabannya opsion A $ . \, \heartsuit $

6). Jika

A = banyaknya bilangan ganjil dari 1 sampai 50

dan
B = banyaknya bilangan prima dari 1 sampai 50,
maka nilai $ A – B $ = … (soal HIMSO L3)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Ganjil adalah himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.
Contoh : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ….}

*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). A = banyaknya bilangan ganjil dari 1 sampai 50
bilangan ganjil dari 1 sampai 50 yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 57, 59.
ada 25 bilangan, sehingga A = 25.

*). B = banyaknya bilangan prima dari 1 sampai 50,

bilangan prima dari 1 sampai 50 yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
ada 15 bilangan, sehingga B = 15.

Nilai $ A – B = 25 – 15 = 10 $.

Jadi, nilai $ A – B = 10 . \, \heartsuit $

7). Jumlah dua bilangan prima adalah 12.345. Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….
A). 24.686 B). 22.453 C). 22.111 D). 12.345
(soal d’mop L3)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). dua bilangan dijumlahkan menghasilkan bilangan ganjil jika kedua bilangan itu adalah bilangan genap dan bilangan ganjil (atau sebaliknya).
*). Bilangan prima genap hanya angka 2.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah dua bilangan prima adalah 12.345
agar hasilnya ganjil, maka salah satunya harus genap. Bilangan prima genap hanya 2.
sehingga bilangan prima sisanya adalah $ 12.345 – 2 = 12.343 $
artinya dua bilangan primanya yaitu 2 dan 12.343.

*). Hasil kalinya yaitu
$ = 2 \times 12.343 = 24.686 $

Jadi, hasilnya adalah $ 24.686 . \, \heartsuit $

8). Banyaknya bilangan prima 2 angka yang hasil jumlah puluhan dan satuannya juga merupakan bilangan prima adalah …. (soal d’mop L3)
A). 12 B). 11 C). 10 D). 9

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bilangan prima yang terdiri dari 2 angka yaitu:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
*). jumlah puluhan dan satuannya juga merupakan bilangan prima yaitu
11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 83, 89.
ada 9 bilangan.

Penjelasan:
$ 11 \rightarrow 1 + 1 = 2 $ (2 bilangan prima)
$ 23 \rightarrow 2 + 3 = 5 $ (5 bilangan prima)
$ 29 \rightarrow 2 + 9 = 11 $ (11 bilangan prima)
dan seterusnya…..

Jadi, ada 9 bilangan $ . \, \heartsuit $

9). Bilangan prima dua digit yang hasil penjumlahan kedua digitnya kurang dari 6 ada sebanyak ….
A). 3 B). 4 C). 5 D). 6
(soal IMSC L3)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bilangan prima yang terdiri dari 2 angka yaitu:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
*). hasil penjumlahan kedua digitnya kurang dari 6 yaitu
11, 13, 23, 31, 41
ada 5 bilangan.

Penjelasan:
$ 11 \rightarrow 1 + 1 = 2 $ (2 kurang dari 6)
$ 13 \rightarrow 1 + 3 = 4 $ (4 kurang dari 6)
$ 23 \rightarrow 2 + 3 = 5 $ (5 kurang dari 6)
dan seterusnya…..

Jadi, ada 5 bilangan $ . \, \heartsuit $

10). Angka 12 dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari 4 angka genap. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyusun 12 menjadi penjumlahan 4
angka genap? (soal d’mop L3)
A). 1 B). 2 C). 3 D). 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Genap adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2.
Contoh : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ….}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). kita mulai dari bilangan genap yang terkecil.
*). Angka 12 dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari 4 angka genap yaitu:
$ 12 = 2 + 2 + 2 + 6 $, $ 12 = 2 + 2 + 4 + 4 $.
ada 2 cara.
Jadi, jawabannya opsion B $ . \, \heartsuit $

11). Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan dari kanan sama. Contoh: 25352 adalah bilangan palindrom. Sebuah ordometer pada sebuah
mobil terbaca 15951 yang merupakan bilangan palindrom. Berapa kilometer paling sedikit mobil tersebut melakukan perjalanan, sehingga ordometer mobil
tersebut menunjukkan bilangan palindrom berikutnya. (soal Omab k5)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan dari kanan sama. Contohnya 75357

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Agar bilangan palindormnya sekecil mungkin setelah bilangan 15951, maka yang kita ubah adalah bilangan 9 (ditengah) bertambah 1, yang artinya akan
ada penyimpanan 1 angka ke angka 5 (sebelah kiri angka 9), yang akan menjadi 160ab. artinya ab harus 61 agar terbentuk bilangan palindrom. Sehingga
bilangan palindrom setelah 15951 adalah 16061.

*). Bilangan palindrom terkecil setelah bilangan 15951 yaitu 16061
sehingga mobil minimal menempuh jarak $ 16061 – 15951 = 110 \, $ km.
Jadi, paling sedikit menempuh 110 km$ . \, \heartsuit $

12). Jika $\downarrow n \downarrow $ adalah bilangan prima terbesar yang kurang dari $n$, dan $ \uparrow n \uparrow $ adalah bilangan prima terkecil yang
lebih dari $n$, maka $ \downarrow 50 \downarrow + \uparrow 50 \uparrow = …? $
A). 100 B). 98 C). 94 D). 90
(soal KMNR L3)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bilangan prima yang mendekati 50 yaitu:
…, 37, 41, 43, 47, 50, 53, 59, 61, …
-). bilangan prima terbesar yang kurang dari 50 adalah 47.
artinya $ \downarrow 50 \downarrow = 47 $
-). bilangan prima terkecil yang lebih besar dari 50 adalah 53.
artinya $ \uparrow 50 \uparrow = 53 $.

Nilai $ \downarrow 50 \downarrow + \uparrow 50 \uparrow = 47 + 53 = 100 $

Jadi, hasilnya $ = 100 . \, \heartsuit $

13). Seorang siswa menjumlahkan bilangan-bilangan prima secara berurutan mulai dari 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Ia berhenti setelah hasil penjumlahannya
melebihi 300. Bilangan terbesar yang dijumlahkan siswa itu adalah …. (soal LIMAS)
A). 43 B). 47 C). 53 D). 61 E). 67

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daftar beberapa bilangan prima yaitu:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

*). Penjumlahan bilangan prima secara berurutan sampai melebihi 300:
$ 2 + 3 = 5 $
$ 2 + 3 + 5 = 10 $
$ 2 + 3 + 5 + 7 = 17 $
……….
$ 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 = 281 $
$ 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 = 328 $
(berhenti karena sudah melebihi 300).
Bilangan prima terbesar yang dijumlahkan adalah 47.

Jadi, jawabannya $ 47 . \, \heartsuit $

14). A, B, dan C adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda. $ A \times B \times C $ merupakan bilangan genap dan $ A \times B \times C > 100$.
Tentukan nilai terkecil dari $ A + B + C$. (soal Omab k5)

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri
(hanya memiliki dua faktor).
bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}
Bilangan prima genap hanya angka 2.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). agar $ A \times B \times C $ merupakan bilangan genap, maka minimal salah satu bilangannya harus genap. Karena bilangan prima genap hanya angka 2,
maka tanpa mengurangi keumuman kita pilih $ A = 2 $.
$ \begin{align}
A \times B \times C & > 100 \\
2 \times B \times C & > 100 \\
B \times C & > 50
\end{align} $
ini terpenuhi untuk $ (B, C) = \{(3, 17), (3, 19), …, (5, 11), (5, 13), …\} $
nilai terkecil $ B + C $ diperoleh saat $ B = 5 $ dan $ C = 11 $.

*). Nilai terkecil dari $ A + B + C $ :
$ = 2 + 5 + 11 = 18 $.

Jadi, jawabannya $ 18 . \, \heartsuit $

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SD

       Demikian pembahasan materi Jenis-Jenis Bilangan Olim SD dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.