Ringkasan Matriks - umptn

         Andelina – Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Matriks – umptn beserta
soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK,
UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal
pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Matriks ini. Untuk soal-soal Matriks kita bagi menjadi dua
bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya
dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Matriks – umptn ini
bisa teman-teman kuasai dengan baik.

A). Pengertian Matriks, Transpose, dan Kesamaan Matriks

(i). Definisi Matriks
       Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom
dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan
di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.

(ii). Ordo matriks
       Ordo (ukuran) matriks menyatakan ukuran banyaknya baris dan kolom suatu matriks, yang biasanya dinotasikan dengan
$ m \times n \, $ (baris $ \times \, $ kolom) , dimana $ m \, $ menyatakan banyak baris dan $ n \, $ menyatakan banyak kolom.

(iii). Transpose matriks
         Transpose matriks adalah perubahan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Dengan adanya transpose maka
ordo matriksnya juga berubah, misalkan awalnya ordo matriks $ m \times n \, $ dan setelah di transpose ordo berubah menjadi $ n \times m $ .
         Untuk simbol transpose biasanya menggunakan pangkat $ t \, $ atau $ T \, $ . Misalkan ada matriks A,
transpose matriks A adalah $ A^t \, $ atau $ A^T . \, $ Jika tidak menggunakan huruf $ t \, $ , biasanya akan diberikan keterangan bahwa yang dipakai
tersebut adalah melambangkan transpose, misalkan $ \overline{A} \, $ atau $ A^\prime $ .

Sifat – sifat transpose matriks :
1). $( A^t)^t = A $
2). $ (A + B)^t = A^t + B^t $
3). $ (A – B)^t = A^t – B^t $
4). $ (AB)^t = B^tA^t $
5). $ (kA)^t = k(A)^t $

(iv). Kesamaan dua matriks
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B sama, $a_{ij} = b_{ij} \, $
(untuk semua nilai $ i \, $ dan $ j \, $).

Contoh transpose matriks:
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 6 & 9 \end{matrix} \right]_{2 \times 3}, \, $ transposenya $ \, A^t = \left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \\ 2 & 9 \end{matrix} \right]_{3 \times 2} \, $
$ B = \left[ \begin{matrix} -4 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2}, \, $ transposenya $ \, B^t = \left[ \begin{matrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2} \, $

Contoh Kesamaan matriks:
Diantara matriks – matriks berikut, manakah yang sama !
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, C = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 9 \end{matrix} \right] $
$ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, Q = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, R = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 9 \end{matrix} \right] $
Penyelesaian:
Matriks yang sama adalah $ A = Q \, $ dan $ B = P $

       Untuk contoh detail tentang definisi matriks, ordo matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, dan kesamaan
dua buah matriks, silahkan Pembaca kunjungi link berikut ya:
Pengenalan Matriks

contoh soal umptn:

1). Soal SPMK UB 2015 MatIPA
Jika diberikan
$ \left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] =
\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right] $
maka nilai dari $ 2x – 3y \, $ adalah ….
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

2). Soal Simak UI 2012 MatDas 224
Jika matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right] $ , maka matriks $ B $
yang memenuhi $ A + B^T = (A – B)^T $ adalah …
A). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right] $
B). $ \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right] $
C). $ \left[ \begin{matrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] $
E). $ \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] $

B). Operasi hitung pada matriks

(i). Penjumlahan pada matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan
$ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah jumlah matriks A dengan matriks B, ditulis C = A + B,
matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).

Sifat-sifat penjumlahan pada matriks:
*). Komutatif : $A + B = B + A$
*). Assosiatif : $(A + B) + C = A + (B + C) $
*). penjumlahan berulang : $ kA = \underbrace{A + A + A + … + A}_{\text{sebanyak } k} $

(ii). Pengurangan pada matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan
$ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah pengurangan matriks A dengan matriks B, ditulis C = A $ – $ B,
matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} – b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).

Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo
matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

(iii). Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan A adalah suatu matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan
$ k \, $ adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real $ k \, $
terhadap matriks A, dinotasikan: $ C = k.A, \, $ bila matriks C berordo $ m \times n \, $ dengan
elemen-elemennya ditentukan oleh:
$ c_{ij} = k.a_{ij} $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).

(iv). Perkalian matriks dengan matriks
Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A$_{m \times n} \, $ dan matriks B$_{n \times p} \, $, dinotasikan C =
A $ \times $ B, maka
*). Matriks C berordo $ m \times p$.
*). Elemen-elemen matriks C pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$,
diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen
kolom ke-$j$ matriks B, kemudian dijumlahkan.
Dinotasikan
$ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + … + a_{in}.b_{nj} $

Catatan :
*). pada perkalian dua matriks $ AB \, $ hasilnya belum tentu sama dengan $ BA $
*). Dua matriks bisa dikalikan jika dan hanya jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua.

sifat-sifat perkalian pada matriks:
*). Assosiatif : $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
*). Distributif : $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
*). Pangkat : $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times … \times A}_{n \text{ faktor}} $

       Untuk contoh mendetail tentang operasi hitung pada matriks, silahkan teman-teman kunjungi link:

Operasi hitung pada matriks

Contoh soal umptn:

3). Soal SPMB 2003 MatDas
Jika matriks $A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, \, $
memenuhi persamaan $A^2 = pA + qI , \, \, $ maka $ p – q = …. $
A). 12
B). 9
C). 8
D). 1
E). $ -1 $

4). Soal SBMPTN 2014 MatDas 691
Jika $ A = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right), \, B = \left( \begin{matrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{matrix} \right), \, $
dan $ AB = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ maka nilai $ z – x \, $ adalah ….
A). 6
B). 3
C). 0
D). $ – 3 $
E). $ – 6 $

5). Soal SNMPTN 2008 MatDas 201
Jika $P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ ,
maka $-P^4+2P^3+3P^2+4I = … $
A). $ -P $
B). $ P $
C). $ 2P $
D). $ -2P $
E). $ 1 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$P^3 = P^2.P = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$P^4 = P^2.P^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align}
& -P^4+2P^3+3P^2+4I \\
& = -\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) + 2\left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)+4\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right)
= -2\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)
= -2P
\end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Perkalian identitas matriks : $P.I = I.P = P$
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)=-I $
$P^3 = P^2.P = -I.P = -P $
$P^4 = P^2.P^2 =-I .-I = I $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align}
-P^4+2P^3+3P^2+4I & = -I + 2(-P)+3(-I)+4I \\
&= -2P
\end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $

6). Soal SBMPTN 2014 MatIPA 523
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan
$\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$, maka matriks $A$
yang mungkin adalah …
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 & -5 \\ 8 & 0 \end{matrix} \right] $
B). $ \left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 8 & 0 \end{matrix} \right] $
C). $ \left[ \begin{matrix} 1 & 8 \\ -5 & 0 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right] $
E). $ \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ 8 & 8 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align}
\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\
\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\
\left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\
ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8
\end{align}$
$\spadesuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$:
$\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $

7). Soal SBMPTN 2014 MatIPA 532
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] , \, $ maka $ (I + A )^5 = …. $
A). $ \left[ \begin{matrix} 32 & 0 \\ 160 & 32 \end{matrix} \right] $
B). $ \left[ \begin{matrix} 32 & 0 \\ 32 & 32 \end{matrix} \right] $
C). $ \left[ \begin{matrix} 32 & 0 \\ 80 & 32 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} 32 & 0 \\ 50 & 10 \end{matrix} \right] $
E). $ \left[ \begin{matrix} 32 & 0 \\ 32 & 10 \end{matrix} \right] $

8). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika $A$ adalah matriks 2$\times$2 yang memenuhi $A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $
dan $\, A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka hasil kali
$\, A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ adalah …
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
B). $ \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
C). $ \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
D). $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) $
E). $ \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\clubsuit \,$ Misalkan : matriks A = $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks A :
$\begin{align}
A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\
2a+b & = 1 \, \, \text{…pers(i)} \\
2c+d & = 0 \, \, \text{…pers(ii)}
\end{align} $
dan
$\begin{align}
A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
4a+6b & = 0 \, \, \text{…pers(iii)} \\
4c+6d & = 2 \, \, \text{…pers(iv)}
\end{align} $
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(iii), diperoleh : $a=\frac{3}{4} , \, b = – \frac{1}{2}$
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv), diperoleh : $c= – \frac{1}{4} , \, d = \frac{1}{2}$
Sehingga matriks A = $\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & – \frac{1}{2} \\ – \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya :
$\begin{align}
A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & – \frac{1}{2} \\ – \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)
\end{align} $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \,$ tidak perlu menentukan matriks A, akan tetapi langsung memodifikasi yang diketahui.
Persamaan I :
$\begin{align}
A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 2)} \\
2.A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2.\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\
A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{…peis(i)}
\end{align} $
Persamaan II :
$\begin{align}
A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 1/2)} \\
\frac{1}{2}.A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2}.\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \text{…peis(ii)}
\end{align} $
Sehingga dari pers(i) dan pers(ii) :
$ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left[ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $

9). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) $ mempunyai hubungan dengan
matriks $ B = \left( \begin{matrix} -5 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right) $ . Matriks
$ C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{matrix} \right) $ dan matriks D mempunyai hubungan yang serupa dengan A
dan B. Bentuk $ C + D = …. $
A). $ \left( \begin{matrix} 8 & 3 \\ 3 & -8 \end{matrix} \right) \, $
B). $ \left( \begin{matrix} 8 & 3 \\ 3 & -2 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 5 & 1 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right) $

10). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \end{matrix} \right) $ ,
$ B = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ , dan
$ AB = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) $ ,
maka nilai $ ab $ adalah …
A). $ 9 \, $
B). $ 10 \, $

C). $ 12 \, $
D). $ 14 \, $
E). $ 16 $

C). Determinan Matriks

         Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya
mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi “jenis – jenis matriks” . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|.

(i). Determinan matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d – b\times c $

(ii). Determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
determinan matriks A adalah :

 Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks $ 3 \times 3 \, $ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor .
Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.

(iii). Sifat-sifat determinan matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :
1). $ |A^t| = |A| $
2). $ |A.B| = |A| . |B| $
3). $ |A^n| = |A|^n $
4). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5). $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $

Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.

       Untuk contoh lebih detail tentang determinan dan invers matriks,
serta sifat-sfatnya, silahkan kunjungi link berikut ya:
Determinan dan Invers
Sifat-sifat Determinan dan Invers

contoh soal umptn:

11). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ ,
dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah …
A). $ -10 $
B). $ -3 $
C). 1
D). 3
E). 10

12). Soal SNMPTN 2010 MatDas 336
Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{matrix} \right) $ ,
maka determinan matriks $M$ adalah …
A). 1
B). $ -1 $
C). 0
D). $ -2 $
E). 2

13). Soal SPMK UB 2013 MatIPA
Diketahui $ A = \left[ \begin{matrix} x^2 & 2+\frac{9}{x} \\ x & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} x-1 & 4 \\ 1 & x+2 \end{matrix} \right] $ .
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian det($A$)-det($B$) = 0 , maka $x_1+x_2 = … $
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

14). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) $ dan
$ C = \left( \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) $ Jika matriks $ A $ berukuran $ 2 \times 2 $ dan
memenuhi persamaan $ A^3 + B = C $ , maka determinan matriks $ 3A^{-1} $ adalah ….
A). $ -3 \, $
B). $ -2 \, $
C). $ -1 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ 2 $

15). Soal SPMK UB 2010 MatIPA
Diketahui matriks
$ A = \left( \begin{matrix} x+5 & x+3 & -2 \\ 4 & x-4 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right) $
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan solusi agar det(A) = 0 , maka nilai $ x_1 + x_2 \, $ adalah ….
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

D). Invers Matriks

         Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1} \, $ , $ A^{-1} \, $ melambangkan invers dari matriks A. Secara
umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.

(i). Invers matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d – b\times c $
invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

(ii). Invers matriks $ 3 \times 3 \, $ dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah
        
         $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $
$adj(A) \, $ artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $
dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
maka adjoin matriks A adalah $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.

(iii). Sifat-sifat invers matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki invers serta I adalah matriks identitas. Berikut beberapa sifat-sifat invers :
1). $ (A^{-1})^{-1} = A $
2). $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3). $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4). $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5). $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $

       Untuk contoh lebih detail tentang determinan dan invers matriks,
serta sifat-sfatnya, silahkan kunjungi link berikut ya:
Determinan dan Invers
Sifat-sifat Determinan dan Invers

contoh soal umptn:

16). Soal SBMPTN 2014 MatDas 611
Jika $\left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right)^{-1}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \,$
dengan $x\neq -\frac{1}{2}$, maka nilai $\frac{1}{2}x+y=…$
A). $ -4 $
B). $ -2 $
C). 0
D). 2
E). 4

17). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika $AB=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ , dan det($A$) = 2, maka det($BA^{-1}$) adalah …
A). $ -2 $
B). $ -1 $
C). 0
D). 1
E). 2

18). Soal SPMB 2006 MatDas
Jika $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $ , $B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $
dan matriks C memenuhi AC = B, maka det C = ….
A). 10
B). 11
C). 12
D). 13
E). 14

19). Soal UMPTN 2000 MatDas
Hasil kali matriks $ (BA)(B+A^{-1})B^{-1} = …. $
A). $ AB + I $
B). $ BA + I $
C). $ A + B^{-1} $
AD). $ A^{-1} + B $
E). $ AB + A $

20). Soal SPMB 2007 MatIPA
Diketahui matriks-matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan
$ \, B^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right) \, $ , $ B^T \, $ menyatakan transpos matriks $ B $ .
Jika det(2$AB$) = $k$. det ($(AB)^{-1}$), maka $ k = …. $
A). 2
B). 3
C). 12
D). 24
E). 36

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = ad-bc $
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan A.B dan $ (AB)^{-1} \, $ serta determinannya
$ B^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right) \rightarrow B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) $
$ AB = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right) $
$\begin{align}
(AB)^{-1} & = \frac{1}{1.(-1) – (-1).4} \left( \begin{matrix} -1 & -4 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} -1 & -4 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{-1}{3} & \frac{-4}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} \right)

\end{align}$
$ 2AB = 2. \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 8 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right) $
$ det(2AB) = [2.(-2)]- [(-2).8] = -4 + 16 = 12 $
$ det ((AB)^{-1}) = [\frac{-1}{3}. \frac{1}{3}] – [\frac{1}{3} . \frac{-4}{3} ] = \frac{-1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k $
$\begin{align}
det (2AB) & = k. det ((AB)^{-1}) \\
12 & = k . \frac{1}{3} \\
k & = 36
\end{align}$
Jadi, nilai $ k \, $ adalah 36. $\heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : |P| artinya determinan P atau det(P)
$|P^{-1}| = \frac{1}{|P|} \, $ dan $ \, |k.P_{m\times m}| = k^m.|P| $
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan AB
$ AB = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right) \rightarrow |AB| = [1.(-1)] – [4.(-1)] = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k $ dengan sifat determinan
$\begin{align}
|2(AB)_{2\times 2}| & = k. |(AB)^{-1}| \\
2^2 |AB| & = k. \frac{1}{|AB|} \\
4. 3 & = k. \frac{1}{3} \\
12 & = k. \frac{1}{3} \\
k & = 36
\end{align}$
Jadi, nilai $ k \, $ adalah 36. $\heartsuit $

21). Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, $ B memiliki invers, dan
$ (AB^{-1})^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) , \, $ maka matriks B = ….
A). $ \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 6 & 1 \end{matrix} \right) $
B). $ \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) $
C). $ \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
D). $ \left( \begin{matrix} 1 & 6 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) $
E). $ \left( \begin{matrix} 4 & 5 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat invers pada matriks
sifat(1) : $ (A^{-1})^{-1} = A $
sifat(2) : $(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
sifat(3) : $ BA = C \rightarrow B = C . A^{-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ B $ dengan sifat invers

$\begin{align}
(AB^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(2)]} \\
(B^{-1})^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\
B. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(3)]} \\
B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). (A^{-1})^{-1} \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\
B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). A \\
B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \\
B & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right)
\end{align}$

Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) . \heartsuit $

22). Soal UM UGM 2015 MatDas 622
Diberikan matriks $ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \, $
dan $ \, Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \, $
dengan $ r \neq 0 \, $ dan $ p \neq 0 $ . Matriks $PQ \, $ tidak mempunyai invers apabila nilai $ p = …. $
A). $ – \frac{3}{2} $
B). $ – \frac{1}{2} $
C). $ – \frac{1}{4} $
D). $ \frac{1}{2} $
E). $ \frac{8}{7} $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Konsep Matriks
*). Determinan matriks A disimbolkan |A|
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = a.d – b.c $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
*). Matriks tidak mempunyai invers, syaratnya : determiannya = 0 .
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 2.3 – 4.(-1) = 6 + 4 = 10 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 2r.(p+1) – r.1 = r(2p+1) $
Matriks PQ tidak punya invers, maka $ |PQ| = 0 $.
$\begin{align}
PQ & = 0 \\
|PQ| & = 0 \\
|P|.|Q| & = 0 \\
10. r(2p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\
r(2p+1) & = 0 \\
r = 0 \vee (2p+1) & = 0 \\
r = 0 \vee p & = -\frac{1}{2}
\end{align}$
Karena $ r \neq 0 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ p = -\frac{1}{2} $.
Jadi, nilai $ p = -\frac{1}{2}. \, \heartsuit $

E). Penerapan matriks pada SPL

(i). Mengubah SPL menjadi persamaan matriks
         Sistem persamaan linear (SPL) harus diubah dulu dalam bentuk persamaan matriks, setelah itu baru kita menerapkan konsep matriks yaitu invers dan determinan.
Sistem persamaan dua variabel $ x \, $ dan $ y $ :
$ \begin{align}
a_1x +b_1y& = c_1 \\
a_2x + b_2y&=c_2
\end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal(matriks koefisien)
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil(matriks konstanta)

Sistem persamaan tiga variabel $ x, \, y \, $ dan $ z $:
$ \begin{align}
a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\
a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z & = d_3
\end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil

(ii). Penerapan Invers pada SPL
         Untuk menerapkan invers dalam menyelesaikan SPL, kita menggunakan sifat invers yaitu :
                           $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
dengan $ A \, $ sebagai matriks awal, $ B \, $ sebagai matriks variabel, $ C \, $ sebagai matriks hasil, dan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks $ A. $

(iii). Penerapan Determinan pada SPL
         Penerapan determinan matriks pada penyelesaian SPL sering dikenal dengan nama cara “Cramer”
*). Penyelesaian SPL dua variabel :
$ \begin{align}
a_1x +b_1y& = c_1 \\
a_2x + b_2y&=c_2
\end{align} \Rightarrow $
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} \, $ dan $ y = \frac{D_y}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $

*). Penyelesaian SPL tiga variabel :
$ \begin{align}
a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\
a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z & = d_3
\end{align} \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} , \, y = \frac{D_y}{D} \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_z \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ z \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_z = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right| $

       Untuk contoh detail tentang penerapan Matriks pada SPL, silahkan kunjungi link:

Penerapan Matriks pada SPL

Contoh soal umptn:

23). Soal SPMB 2005 MatDas
Jika sistem persamaan linear $ \left\{ \begin{array}{c} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{array} \right. \, $
dan $x=\frac{a}{\text{det} \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) } \, $ maka $ a = …. $
A). $ 2p + 3q $
B). $ 2p – 3q $
C). $ 3p + 2q $
D). $ 3p – 2q $
E). $ -3p + 2q $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi
soal-soal Matriks seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :
Kumpulan
soal Matriks seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Matriks – umptn dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link
Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika.
Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar
dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.

Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers

         Andelina – Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers – umptn beserta
soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK,
UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal
pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Fungsi Komposisi dan Invers ini. Untuk soal-soal Fungsi Komposisi dan Invers kita bagi menjadi dua
bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya
dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers – umptn ini
bisa teman-teman kuasai dengan baik.

gambar 0.

(A). Fungsi

       Misalkan A dan B himpunan.
Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap
anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).

       Fungsi $ y = f(x) $, nilai $ f(k) $ artinya menggantikan semua
variabel $ x $ dengan $ k $ pada fungsi $ y = f(x) $.

(i). Daerah asal fungsi (Domain)
1). $ f(x) = \sqrt{g(x)} \rightarrow D_f = \{ x | x \in g(x) \geq 0 \} $
2). $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow D_f = \{ x | x \in h(x) \neq 0 \} $
3). $ D_{f+g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
4). $ D_{f-g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
5). $ D_{f.g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
6). $ D_{\frac{f}{g}} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \, \text{ dan } g(x) \neq 0 \} $

(ii). Daerah Hasil fungsi (Range)
       Daerah hasil fungsi bergantung dari daerah asalnya.

       Untuk mempelajari fungsi secara mendalam yaitu tentang definisi,
sifat-sifat, dan jenis-jenis fungsi, silahkan Pembaca kunjungi link berikut:

Fungsi Matematika.

1). Soal UMPTN 2001 MatDas
Misalkan $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}
2x-1, & \text{untuk} \, \, \, \, 0 < x < 1 \\
x^2+1, & \text{untuk} \, \, x \, \, \text{yang lain}
\end{array} \right. $
maka $ f(2)f(-4)+f\left( \frac{1}{2} \right) f(3) = …. $
A). 52
B). 55
C). 85
D). 105
E). 210

2). Soal SNMPTN 2009 MatDas 276
Jika fungsi $f$ memenuhi persamaan $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ untuk setiap $x$ bilangan real, maka nilai $f(2) $ adalah ….
A). 11
B). 7
C). $ – 3 $
D). $ – 5 $
E). $ -11 $

3). Soal UTBK 2019 Soshum
Manakah yang bukan merupakan fungsi dari $ y = f(x) $ di abawah ini?

4). Soal SBMPTN 2017 MatDas 265
Jika $ f(x) = 4 – 2x $ dan $ g(x) = \frac{x+1}{2 – x} $, maka daerah hasil
$ f. g $ adalah ….
A). $\{ y | -\infty
B). $\{ y | y \neq 2 \} $
C). $\{ y | y \neq 4 \} $
D). $\{ y | y \neq 6 \} $
B). $\{ y | y \neq 2 \, \text{dan} \, y \neq 6 \} $

(B). Fungsi Komposisi

(i). Definisi fungsi komposisi
       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi
$f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan
lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :

       Sementara untuk fungsi komposisi
$g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan
lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :

(ii). Syarat Fungsi Komposisi
       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat
dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ adalah
irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi
$g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.

(iii). Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah
$ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah
$ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

       Untuk memperdalam materi fungsi kompoisi, silahkan kunjungi link:

Fungsi komposisi

5). Soal SBMPTN 2017 MatDas 265
Jika $ f(x) = \sqrt{x} $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $, maka daerah asal
$ g \circ f $ adalah ….
A). $ \{ x| -\infty < x < \infty \} $
B). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } x > 1 \} $
C). $ \{ x | x < 0 \text{ atau } x > 0 \} $
D). $ \{ x | x \geq 0 \} $
E). $ \{ x | x \geq 1 \} $

6). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x -1 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $ . Berikut ini himpunan pasangan terurut yang BENAR dari fungsi
$ (f \circ g)(x) $ adalah …..
A). $ \{ (-2,9), (0,1), (1,2), (2,9) \} \, $
B). $ \{ (-2,9), (1,3), (2,9), (3,20) \} \, $
C). $ \{ (-1,3), (0,1), (1,3), (2,8) \} \, $
D). $ \{ (-1,3), (0,1), (2,9), (3,19) \} \, $
E). $ \{ (-2,9), (-1,2), (1,3), (2,9) \} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan fungsi komposisinya:
$ \begin{align}
(f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\
& = f( x^2 + 1) \\
& = 2(x^2 + 1) – 1 \\
& = 2x^2 + 1
\end{align} $
*). Menentukan hasil komposisi dari $ x = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} $
$ \begin{align}
(f \circ g)(x) & = 2x^2 + 1 \\
x = -2 \rightarrow (f \circ g)(-2) & = 2(-2)^2 + 1 = 9 \, ( – 2, 9) \\
x = -1 \rightarrow (f \circ g)(-1) & = 2(-1)^2 + 1 = 3 \, ( – 1, 3) \\
x = 0 \rightarrow (f \circ g)(0) & = 2(0)^2 + 1 = 1 \, ( 0, 1) \\
x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) & = 2(1)^2 + 1 = 3 \, ( 1, 3) \\
x = 2 \rightarrow (f \circ g)(2) & = 2(2)^2 + 1 = 9 \, ( 2, 9) \\
x = 3 \rightarrow (f \circ g)(3) & = 2(3)^2 + 1 = 19 \, ( 3, 19)
\end{align} $
Sehingga yang benar adalah opsion D.
Jadi, jawabannya D. $ \heartsuit $

7). Soal SBMPTN 2016 MatDas 349
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi $ f $ dan $ g $,
$ \begin{array}{c|cccc}
x & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
f(x) & 1 & 3 & 1 & -1 \\
\hline
g(x) & 2 & 0 & 1 & 2
\end{array} $
maka $ (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) = …. $
A). $ -1 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 5 $

8). Soal SNMPTN 2008 MatIPA 302
Jika $f(2x+4)=x $ dan $g(3-x)=x $ , maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) $ sama dengan ….
A). 2
B). 3
C). 4
D). 5
E). 6

9. Soal SPMK UB 2013 MatIPA
Jika diketahui $f(x-1)=2x $ dan $g(x)=x^2-2 $ , maka $(fog)(x+1) = … $
A). $ 2x^2 + 4x $
B). $ 2x^2 – 4x $
C). $ x^2 + 4x $
D). $ x^2 – 4x $
E). $ x^2 + 3x $

10). Soal SBMPTN 2014 MatDas 663
Jika $ g(x) = 2x+4 \, $ dan $ (g\circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 6 , \, $ maka $ (f\circ g)(1) \, $ adalah ….
A). 38
B). 39
C). 46
D). 48
E). 49

11). Soal UTBK 2019 Soshum
Diketahui $ f(x) = ax + 5 $ dengan $ a \neq 0 $ dan $ (g \circ f)(x) = x + \frac{5}{a} $ .
Nilai $ g(2a) = …. $
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 $

12). Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $
Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = …. $
A). 5
B). $ – 5 $
C). $ -1 $
D). 1
E). 2

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ….pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = – f(-x) \, $ ….pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ….dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = – (1) = -1 \, $ ….dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align}
f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{….[ dengan } f(-3) = 5 ] \\
& = -1
\end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$

13). Soal SBMPTN 2017 MatDas 207
Diketahui $ f(x) = ax + 2 $ dan $ g(x) = 2x + d $ , dengan $ a \neq 0 $.
Jika $ (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) $ untuk suatu $ x $ , maka nilai
$ d(a – 1) $ adalah ….
A). $ -2 \, $
B). $ -1 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ 2 \, $

(C). Invers Fungsi

       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f =
\{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi
yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} =
\{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $

       Untuk lebih medetail tentang invers fungsi dan sifatnya, silahkan
kunjungi link berikut:

Fungsi invers

14). Soal SBMPTN 2014 MatDas 611
Jika $f^{-1}(x-1)=\frac{4-3x}{x-2}$ , maka nilai $f(-5) \, $ adalah …
A). $ -\frac{8}{3} $
B). $ – 2 $
C). 0
D). 2
E). 4

15). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika $f\left( \frac{1}{x+1} \right) = \frac{x+3}{x+1} $ , maka nilai $a-3$ agar $f^{-1}(a+1)=2$ adalah …

A). $ – \frac{3}{2} $
B). $ -\frac{1}{2} $
C). 0
D). 1
E). 2

16). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = 2x-1 $
dan $ g(x+1) = x – 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(3). g^{-1}(3) $ adalah …
A). $ 14 \, $
B). $ 9 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ -9 \, $
E). $ -14 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Fungsi $ g(x+1) = x – 3 $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 1 = p \rightarrow x = p – 1 $
$\begin{align}
g(x+1) & = x – 3 \\
g(p) & = (p-1) – 3 \\
g(p) & = p – 4 \\
g(x) & = x – 4
\end{align} $
-). Menentukan invers dari $ g(x) = x – 4 $ :
$\begin{align}
g(x) & = x – 4 \\
y & = x – 4 \\
x & = y + 4 \\
g^{-1}(x) & = x + 4
\end{align} $
Nilai $ g^{-1}(3) = 3 + 4 = 7 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x – 4 = q \rightarrow x = q + 4 $
$\begin{align}
f(g(x)) & = 2x-1 \\
f(x – 4) & = 2x-1 \\
f(q) & = 2(q + 4)-1 \\
f(q) & = 2q + 7 \\
f(x) & = 2x + 7
\end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = 2x + 7 $ :
$\begin{align}
f(x) & = 2x + 7 \\
y & = 2x + 7 \\
x & = \frac{y-7}{2} \\
f^{-1}(x) & = \frac{x-7}{2}
\end{align} $
Nilai $ f^{-1}(3) = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align}
f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14
\end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 – 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $

*). Fungsi $ g(x+1) = x – 3 $ :
$\begin{align}
g(x+1) & = x – 3 \\
g^{-1}(x-3) & = x + 1
\end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(3) $ , maka $ x – 3 = 3 \rightarrow x = 6 $ :
$\begin{align}
x = 6 \rightarrow g^{-1}(x-3) & = x + 1 \\
g^{-1}(6-3) & = 6 + 1 \\
g^{-1}(3) & = 7
\end{align} $
*). Fungsi $ f(g(x)) = 2x-1 $ :
$\begin{align}
f(g(x)) & = 2x-1 \\
f^{-1}(2x – 1) & = g(x)
\end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(3) $ , maka $ 2x-1 = 3 \rightarrow x = 2 $ :
-). Dari bentuk $ g(x+1) = x – 3 $, agar memperoleh nilai $ g(2) $ , maka $ x + 1 = 2 \rightarrow x = 1 $
$ g(x+1) = x – 3 \rightarrow g(1+1) = 1 – 3 \rightarrow g(2) = -2 $
$\begin{align}
x = 2 \rightarrow f^{-1}(2x – 1) & = g(x) \\
f^{-1}(2.2 – 1) & = g(2) \\
f^{-1}( 3) & = -2
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align}
f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14
\end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

17). Soal UMPTN 2001 MatDas
Jika $ \, (f \circ g ) (x) = 4x^2 + 8x – 3 \, $ dan $ \, g(x) = 2x + 4 \, $ . Maka $ \, f^{-1} (x) = …. $
A). $ x + 9 $
B). $ 2 + \sqrt{x} $
C). $ x^2 – 4x – 3 $
D). $ 2 + \sqrt{x+1} $
E). $ 2 + \sqrt{x+7} $

18). Soal SBMPTN 2016 MatDas 345
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi
$ f(x) = g(4 – 2x) $, maka $ f^{-1}(x) = …. $
A). $ g^{-1}(4-2x) \, $
B). $ g^{-1}\left( 2 – \frac{x}{2} \right) \, $
C). $ 4 – 2g^{-1}(x) \, $
D). $ 2 – \frac{ g^{-1}(x) }{2} \, $
E). $ 4 – \frac{ g^{-1}(x) }{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(x) = g(4 – 2x) $
Kita Misalkan $ B = g(4 – 2x) \, $
Sehingga :
$ \begin{align}
f(x) & = g(4-2x) \\
f(x) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\
x & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk B)} \\
x & = f^{-1}(g(4 – 2x)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\
f^{-1}(g(4 – 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{…pers(i)}
\end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(4 – 2x) $
Dengan definisi invers :
$ g(4 – 2x) = p \rightarrow 4 – 2x = g^{-1}(p) $
$ \rightarrow 2x = 4 – g^{-1}(p) \rightarrow x = 2 – \frac{g^{-1}(p)}{2} $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align}
f^{-1}(g(4 – 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{…pers(i)} \\
f^{-1}(p) & = 2 – \frac{g^{-1}(p)}{2}
\end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2 – \frac{g^{-1}(p)}{2} \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2} $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2} . \, \heartsuit $

Cara II:
*). Pada soal diketahui : $ f(x) = g(4 – 2x) $
Kita Misalkan $ f(x) = g(4 – 2x) = p $
Sehingga :
$ f(x) = p \rightarrow x = f^{-1} (p) \, $ atau $ f^{-1} (p) = x \, $ ….(i)
$ g(4 – 2x) = p \rightarrow 4 – 2x = g^{-1} (p) \rightarrow 2x = 4 – g^{-1} (p) $
$ \rightarrow x = \frac{4 – g^{-1}(p)}{2} \rightarrow x = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2} \, $ ….(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align}
f^{-1} (p) & = x \\
f^{-1} (p) & = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2}
\end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2 – \frac{g^{-1}(p)}{2} \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2} $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2 – \frac{g^{-1}(x)}{2} . \, \heartsuit $

(D). Gabungan invers dan komposisi

       Dari gambar diagram di atas $f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$ , dengan $f$ dan $g$ berkorespondensi
satu-satu sedermikian sehingga $h = g \circ f$, maka $h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Dalam hal ini
$(g \circ f)^{-1} = h^{-1} $ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

1). $ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $
2). $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
3). $ (f \circ f^{-1} )(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x \, $ (Sifat identitas)
4). $ (f \circ g \circ h )^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1} )(x) $

       Untuk lebih medetail tentang invers fungsi dan sifatnya, silahkan
kunjungi link berikut:

Fungsi invers

19). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika $f(x)=x+2$ dan $g(x)=\frac{x}{x+5}$ , maka nilai $(g^{-1}of)(4)$ adalah …
A). $ – 8 $
B). $ – 6 $
C). $ -2 $
D). 4
E). 6

20). Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Jika $ f(x) = \frac{ax+1}{3x-1}, \, g(x) = x-2, \, $ dan $ (g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \frac{7}{2}, \, $ maka $ a = …. $
A). $ – 4 $
B). $ – 2 $
C). 0
D). 2
E). 4

21). Soal Simak UI 2018 MatDas 641
Jika $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $ ,
maka nilai $ ( g \circ h)(3) $ adalah ….
A). $ 6 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
*). Menentukan hasil $ ( g \circ h)(3) $
$\begin{align}
( g \circ h)(3) & = g ( h(3)) \\
& = g \left( \frac{4.3-3}{-3+a} \right) \\
& = g \left( \frac{9}{a – 3} \right) \\
& = \frac{-a.\frac{9}{a – 3}-3}{-\frac{9}{a – 3}-4} \\
& = \frac{-a.\frac{9}{a – 3}-3}{-\frac{9}{a – 3}-4} \times \frac{(a-3)}{(a-3)} \\
& = \frac{-9a – 3(a-3)}{-9 – 4(a-3)} \\
& = \frac{-9a -3a + 9}{-9 – 4a + 12} \\
& = \frac{-12a + 9}{ – 4a + 3} \\
& = \frac{3(-4a + 3)}{ (- 4a + 3)} \\
& = 3
\end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers FUngsi $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} $ yaitu $ f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
*). Sifat invers fungsi dan komposisi :
$ (f \circ f^{-1} )(x) = ( f^{-1} \circ f)(x) = x $
Misalkan $ (f \circ f^{-1} )(4) = ( f^{-1} \circ f)(4) = 4 $
(sifat saling invers dua fungsi).

*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
$ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-(-4)x – 3}{-x – (-a)} = \frac{4x – 3}{-x+a} $
$ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} \rightarrow h^{-1} (x) = \frac{-ax – 3}{-x – 4} $
-). Dari penjabaran di atas, kita peroleh bahwa invers dari $ g(x) $ adalah $ h(x) $ dan berlaku sebaliknya. Ini kita sebut
$ g(x) $ dan $ h(x) $ saling invers dan berlaku sifat invers komposisi yaitu $ (g \circ h)(x) = (h \circ g)(x) = x $
-). Hasil akhir :
$ ( g \circ h)(3) = 3 $ begitu juga $ (h \circ g)(3) = 3 $.
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

22). Soal UM UNDIP 2012 MatIPA 121
Misalkan $ f^{-1}, \, g^{-1}, \, $ dan $ h^{-1} \, $ berturut-turut menyatakan invers fungsi $ f $ ,
$ g $ , dan $ h $. Jika $ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = 2x – 4 $
dan $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $ untuk $ x \neq -\frac{1}{2} $ , maka
nilai $ f(-4) – f(4) = … $
A). $ -2 $
B). 0
C). 2
D). 4
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Konsep Dasar:
-). $ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = (h \circ g \circ f )^{-1}(x) $
-). $ [f^{-1}(x)]^{-1} = f(x) $
(Jika ada invers, untuk menghilangkan invers maka cukup kita inverskan fungsi tersebut).
-). Pengerjaan fungsi komposisi dari fungsi paling kanan ke sebelah kirinya secara berurutan.
-). Menentukan invers:
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $

*). Mengubah yang diketahui dengan sifat invers komposisi fungsi:
$ \begin{align}
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) & = 2x – 4 \\
(h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x – 4 \\
(h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x – 4
\end{align} $
*). Untuk menentukan $ (h \circ g \circ f )(x) $ , maka bentuk $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) = 2x – 4 $
harus kita inverskan dulu.
Misalkan $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) = y $
$ \begin{align}
(h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x – 4 \\
y & = 2x – 4 \\
x & = \frac{y + 4}{2} \\
\end{align} $
sehingga invers dari $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) $ adalah $ (h \circ g \circ f )(x) $
yaitu $ (h \circ g \circ f )(x) = \frac{x + 4}{2} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $:
Misalkan $ f(x) = p $ dan diketahui $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $
$ \begin{align}
(h \circ g \circ f )(x) & = \frac{x + 4}{2} \\
(h \circ g)(f(x)) & = \frac{x + 4}{2} \\
(h \circ g)(p) & = \frac{x + 4}{2} \\
\frac{p-3}{2p+1} & = \frac{x + 4}{2} \\
(2p + 1)(x + 4) & = 2(p-3) \\
2xp + 8p + x + 4 & = 2p – 6 \\
2xp + 8p – 2p & = -x – 6 – 4 \\
2xp + 6p & = -x – 10 \\
p(2x+6) & = -x – 10 \\
p & = \frac{-x-10}{2x + 6} \\
f(x) & = \frac{-x-10}{2x + 6}
\end{align} $
Sehingga $ f(x) = \frac{-x-10}{2x + 6} $
*). Menentukan nilai $ f(-4) – f(4) $
$ \begin{align}
f(-4) – f(4) & = \frac{-(-4)-10}{2(-4) + 6} – \frac{-4-10}{2(4) + 6} \\
& = \frac{4-10}{-8 + 6} – \frac{-14}{8 + 6} \\
& = \frac{-6}{-2} – \frac{-14}{14} \\
& = 3 – (-1) \\
& = 4
\end{align} $
Jadi, nilai $ f(-4) – f(4) = 4. \heartsuit $

Cara II:
*). Konsep dasar:
-). $ (f^{-1} \circ f)(A) = A $
-). $f(x) = \frac{ax+b}{cx + d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx – a} $

*). Diketahui:
$ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = 2x – 4 $
dan $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $
*). Menentukan fungsi $ f^{-1} (x) $ dengan cara komposisikan $ (h \circ g)(x) $ ke invers
komposisinya:
Misalkan $ p = ( h \circ g)(x) $ sehingga $ p = \frac{x-3}{2x+1} $
$ \begin{align}
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) & = 2x – 4 \\
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(p) & = 2p – 4 \\
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right) \left( ( h \circ g)(x) \right) & = 2 \left( \frac{x-3}{2x+1} \right) – 4 \\
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \circ h \circ g \right) (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} – 4 \\
\left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \right) (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} – \frac{4(2x+1)}{2x+1} \\
f^{-1} (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} – \frac{8x+4 }{2x+1} \\
f^{-1} (x) & = \frac{-6x-10}{2x+1} \\
\text{(inverskan untuk menentukan } & f(x) \\
f(x) & = \frac{-x-10}{2x+6}
\end{align} $
Sehingga $ f(x) = \frac{-x-10}{2x + 6} $
*). Menentukan nilai $ f(-4) – f(4) $
$ \begin{align}
f(-4) – f(4) & = \frac{-(-4)-10}{2(-4) + 6} – \frac{-4-10}{2(4) + 6} \\
& = \frac{4-10}{-8 + 6} – \frac{-14}{8 + 6} \\
& = \frac{-6}{-2} – \frac{-14}{14} \\
& = 3 – (-1) \\
& = 4
\end{align} $
Jadi, nilai $ f(-4) – f(4) = 4. \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi
soal-soal Fungsi Komposisi dan Invers seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan Pembaca kunjungi link berikut :
Kumpulan
soal Fungsi Komposisi dan Invers seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers – umptn dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link
Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika.
Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar
dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.