Barisan dan Deret Olim Matik SMA

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Barisan dan Deret Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Barisan dan Deret Olim Matik SMA.
Tentuk masih ada banyak
lagi bentuk Barisan dan Deret lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa Pembaca pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Barisan dan Deret ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah
dicoba, silahkan Pembaca cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Barisan dan Deret

       1, 2, 3, 4, 5, … dikatakan sebagai barisan karena
mempunyai suatu pola tertentu dengan rumus suku ke-$n$ adalah $n$.
Dan $ 1 + 2 + 3 + 4 + …. $ disebut sebagai deret.

A). Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

(i). Definisi
       Misalkan ada barisan: $ u_1 , u_2 u_3, u_4 , …$
Barisan Aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih sama antara dua suku yang berdekatan,
disebut dengan beda ($b$).
       $ b = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = … = u_n – u_{n-1} $

(ii). Suku ke-$n$ dan suku Tengah
Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$):
       $ u_n = a + (n-1)b $
Rumus Suku Tengah ($u_t$):
       $ u_t = \frac{a+u_n}{2} $

(iii). Sisipan
Disisipkan $ k $ bilangan/suku diantara setiap dua suku yang berdekatakan:
       $ u_1 \underbrace{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \,
u_2 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \,
u_3 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} u_4 ,
…… $
Rumus Beda baru ($b^*$):
       $ b^* = \frac{b}{k+1} $

(iv). Jumlah $n$ suku pertama ($s_n $)
Rumus $ s_n $ yaitu:
       (1). $ s_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n ) $
       (2). $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b ) $
       (3). $ s_n = n.u_t $

Contoh 1:
Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, …. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.

Contoh 2:
Sebuah barisan jumlah $ n$ suku pertama dirumuskan dengan $ s_n = 3n^2 – 15n $.
Nilai $ u_3 = …$?

Contoh 3:
Nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) =…$?

Conroh 4:
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5.
Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke- …?

Contoh 5:
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa
sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah …?

Contoh 6:
Diketahui 3, …, 13, 15. adalah barisan aritmatika.
Tentukan suku tengah barisan tersebut.

Contoh 7:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42, … disisipkan sebanyak 4
bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

(v). Barisan Aritmatika Bertingkat
       Misalkan ada barisan $ u_1, u_2, u_3, …, u_n $
yang bukan merupakan barisan aritmatika sebab $ u_n – u_{n-1} $ tidak konstan.

a). Apabila diambil $ D_1 (n) = u_n – u_{n-1} $, $D_2 (n) = D_1 (n) – D_1(n-1) $, dan
seterusnya sampai pada suatu saat $ D_k (n) – D_k (n-1) $ bernilai konstan, maka kita dapat
mengambil kesimpulan bahwa rumus suku ke-$n$ ($u_n$) barisan tersebut merupakan polinomial
berderajat $ k $.

a). Apabila diambil $ D_1 (n) = s_n – s_{n-1} $, $D_2 (n) = D_1 (n) – D_1(n-1) $, dan
seterusnya sampai pada suatu saat $ D_k (n) – D_k (n-1) $ bernilai konstan, maka kita dapat
mengambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) deret tersebut merupakan polinomial
berderajat $ k $.

Contoh 8:
Diketahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, …. Tentukan rumus suku ke-$n$ dan rumus jumlah $n$
suku pertamanya.

B). Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur)

(i). Definisi
       Misalkan ada barisan: $ u_1 , u_2 u_3, u_4 , …$
Barisan Geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan dua suku yang berdekatan sama,
disebut rasio ($r$), dengan
       $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} =
\frac{4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}} $

(ii). Suku ke-$n$ dan suku Tengah
Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$):
       $ u_n = ar^{n-1} $
Rumus Suku Tengah ($u_t$):
       $ u_t = \sqrt{a.u_n} $

(iii). Sisipan
Disisipkan $ k $ bilangan/suku diantara setiap dua suku yang berdekatakan:
       $ u_1 \underbrace{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \,
u_2 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \,
u_3 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} u_4 ,
…… $
Rumus Rasio baru ($r^*$):
       $ r^* = \sqrt[k+1]{r} $

(iv). Jumlah $n$ suku pertama ($s_n $)
Rumus $ s_n $ yaitu:
       $ s_n = \frac{a(r^n – 1}{r-1} $

(v). Deret geometri tak Hingga
Rumus Umum: $ S_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{rasio}} $
Rumus Khusus: $ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Syarat konvergen: $ -1 < r < 1 $
Syarat Divergen: $ r \leq -1 $ atau $ r\geq 1 $

Catatan:
*). $ a $ dalam rumus-rumus diatas mewakili suku pertama ($a = u_1 $).
*). Deret konvergen adalah deret yang memiliki jumlah. Deret
divergen adalah deret yang tidak memiliki jumlah yaitu jumlahnya $ -\infty $ atau
$ \infty $.

Contoh 9:
Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, …. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan
tersebut.

Contoh 10:
Pada barisan geometri diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$. Tentukan nilai $S_8$?

Contoh 11:
Tiga bilangan membentk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangkan 20
terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah …?

Contoh 12:
Diketahui barisan 2, 6, …, 162 adalah barisan geometri.
Tenteukan suku tengahnya.

Contoh 13:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, … disisipkan sebanyak
3 bilangan. Tentukan suku ke-7 barisan yang baru.

Contoh 14:
Tentukan nilai dari $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + …$

Contoh 15:
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah …?

C). Barisan dan Deret Lainnya serta bentuk tak hingga

       Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu
dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh adalah barisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, …. yang merupakan penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan
persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa rumus deret lainnya:
1). $ 1^2 + 2^2 + 3^2 + …+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
2). $ 1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1+2+3+…+n)^2 $

Contoh 16:
Hitunglah nilai dari:
$ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} $

Contoh 17:
Hitunglah bentuk tak hingga berikut:
$ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{…} } } } $

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, …. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a + (n-1)b $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 5, 8, 11, ….
$ a = 2 $ dan $ b = 5 – 2 = 3 $
*). Menentukan nilai $ u_{10} $ dan $ S_4 $:
$\begin{align}
u_{10} & = a + (10 -1)b \\
& = 2 + 9 . 3 \\
& = 2 + 27 = 29 \\
S_4 =& = \frac{4}{2} (2a + (4-1)b) \\
& = 2 (2 . 2 + 3.3) \\
& = 2(4 + 9) = 26
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_{10} = 29 $ dan $ S_4 = 26 . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Sebuah barisan jumlah $ n$ suku pertama dirumuskan dengan $ s_n = 3n^2 – 15n $.
Nilai $ u_3 = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $ :
$ u_n = s_n – s_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
DIketahui: $ s_n = 3n^2 – 15n $
*). Menentukan $ u_3 $ :
$\begin{align}
u_3 & = s_3 – s_2 \\
& =( 3.3^2 – 15.3) – (3.2^2 – 15.2) \\
& = (-18) – (-18) = 0
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_3 = 0 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) =…$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ s_n = \frac{n}{2} (a + u_n ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
Bentuk $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) = 5 + 7 + 9 + … + (2n+3) $
memiliki $ a = 5 $
*). Menentukan jumlah deretnya:
$\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) & = 5 + 7 + 9 + … + (2n+3) \\
& = s_n \\
& = \frac{n}{2} ( 5 + (2n+3)) \\
& = \frac{n}{2} ( 2n + 8) \\
& = \frac{2n^2 + 8n}{ 2} \\
& = n^2 + 4n
\end{align} $

Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) = n^2 + 4n . \, \heartsuit $

Conroh 4:
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5.
Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke- …?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $:
$ \begin{align}
u_{25} & = 3 u_5 \\
a + 24b & = 3(a + 4b) \\
a + 24b & = 3a + 12b \\
2a & = 12b \\
a & = 6b
\end{align} $
*). Menentukan suku yang dimaksud:
$\begin{align}
u_n & = 2u_1 \\
a + (n-1)b & = 2a \\
6b + (n-1)b & = 2(6b) \\
6b + (n-1)b & = 12b \\
(n-1)b & = 6b \\
n-1 & = 6 \\
n & = 7
\end{align} $

Jadi, suku ke-7$. \, \heartsuit $

Contoh 5:
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa
sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah …?

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika $ a , b, c $, berlaku $ a+c = 2b $
karena memiliki selisih yang sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sisi miringnya = 20,
barisannya $ a, b, 20 $
dengan $ a + 20 = 2b \rightarrow a = 2b – 20 $
*). Pythagoras:
$ \begin{align}
a^2 + b^2 & = c^2 \\
(2b – 20)^2 + b^2 & = 20^2 \\
4b^2 – 80b + 400 + b^2 & = 400 \\
5b^2 – 80b & = 0 \\
b(5b-80) & = 0 \\
b = 0 \vee b & = \frac{80}{5} = 16
\end{align} $
sehingga $ a = 2b – 20 = 2(16) – 20 = 12 $

*). Keliling segitiganya:
$\begin{align}
\text{Keliling } & = a + b + c \\
& = 12 + 16 + 20 \\
& = 48
\end{align} $

Jadi, keliling segitiga $ = 48 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku triple pythagoras.
*). Triple Pythagoras yang membentuk barisan aritmetika yaitu
$ 3x, 4x$, dan $ 5x $, dengan $ 5x $ sebagai sisi miring.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sisi miringnya = 20,
$ 5x = 20 \rightarrow x = 4 $
*). Keliling segitiganya:
$\begin{align}
\text{Keliling } & = 3x + 4x + 5x \\
& = 12x \\
& = 12(4) \\
& = 48
\end{align} $

Jadi, keliling segitiga $ = 48 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Diketahui 3, …, 13, 15. adalah barisan aritmatika.
Tentukan suku tengah barisan tersebut.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku tengan : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Barisan: 3, …, 13, 15
$ u_1 = 3 $ dan $ u_n = 15 $
*). Menentukan suku tengah:
$ \begin{align}
u_t & = \frac{u_1 + u_n}{2} \\
& = \frac{3 + 15}{2} \\
& = \frac{18}{2} = 9
\end{align} $

Jadi, suku tengahnya $ 9 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42, … disisipkan sebanyak 4
bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beda baru: $ b^* = \frac{b}{k+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 12, 22, 32, 42, …
$ a = 2 $ dan $ b = 12 – 2 = 10 $
Disisipkan 4 bilangan
$ k = 4 $
Beda baru: $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{10}{4+1} = 2 $

*). Menentukan suku ke-100 dengan beda baru:
$\begin{align}
u_{100} & = a + (100 – 1) b^* \\
& = 2 + 99 \times 2 \\
& = 2 (1 + 99) \\
& = 2 \times 100 \\
& = 200
\end{align} $

Jadi, suku ke-100 adalah $ 200 . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Diketahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, …. Tentukan rumus suku ke-$n$ dan rumus jumlah $n$
suku pertamanya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus barisan aritmetika bertingkat:
$ u_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)c}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!} + … $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).

Jadi, diperoleh hasil seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 9:
Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, …. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan
tersebut.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a.r^{n-1} $ dan $ s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 6, 18, 54, ….
$ a = 2 $ dan $ r = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan $ u_5 $ dan $ s_4 $ :
$\begin{align}
u_5 & = ar^{5-1} = 2. 3^4 = 2 \times 81 = 162 \\
s_4 & = \frac{a(r^4 – 1)}{r-1} \\
& = \frac{2.(3^4 – 1)}{3-1} = 80
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_5 = 162 $ dan $ s_4 = 80 . \, \heartsuit $

Contoh 10:
Pada barisan geometri diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$. Tentukan nilai $S_8$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $:
$ u_n = s_n – s_{n-1} \rightarrow s_n = u_n + s_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$
*). Menentukan $ s_8$ :
$\begin{align}
s_n & = u_n + s_{n-1} \\
s_8 & = u_8 + s_{8-1} \\
& = u_8 + s_7 \\
& = 36 + 52 = 88
\end{align} $

Jadi, nilai $ S_8 = 88 . \, \heartsuit $

Contoh 11:
Tiga bilangan membentk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangkan 20
terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah …?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmatika: $a, b, c $
Berlaku $ a + c = 2b $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan barisan geometrinya: $a, ar, ar^2 $
*). Jumlah = 65, maka $ a + ar + ar^2 = 65 $ …(i)
*). Barisan diubah:
menjadi : $ a, ar, ar^2 – 20 $ barisan aritmatika.
Berlaku: $ a + (ar^2 – 20) = 2ar $
atau $ a + ar^2 = 2ar + 20 $ … (ii)

*). Substitusi (ii) ke (i)
$\begin{align}
a + ar + ar^2 & = 65 \\
(a + ar^2) + ar & = 65 \\
(2ar + 20) + ar & = 65 \\
ar & = 15 \\
a & = \frac{15}{r}
\end{align} $

*). Substitusi $ a = \frac{15}{r} $ ke pers(i):
$\begin{align}
a + ar + ar^2 & = 65 \\
\frac{15}{r} + \frac{15}{r}.r + \frac{15}{r}. r^2 & = 65 \\
\frac{15}{r} + \frac{15}{r}.r + \frac{15}{r}. r^2 & = 65 \, \, \, \text{(kali } r ) \\
15 + 15r + 15r^2 & = 65r \\
15r^2 – 50r + 15 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 5)} \\
3r^2 – 10r + 3 & = 0 \\
(3r -1 )(r -3 ) & = 0 \\
r = \frac{1}{3} \vee r & = 3
\end{align} $

Jadi, rasionya adalah $ r = \frac{1}{3} \vee r = 3 . \, \heartsuit $

Contoh 12:
Diketahui barisan 2, 6, …, 162 adalah barisan geometri.
Tenteukan suku tengahnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku tengah: $ u_t = \sqrt{a. u_n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 6, …, 162
$ a = 2 $ dan $ u_n = 162 $
*). Menentukan suku tengah:
$\begin{align}
u_t & = \sqrt{a. u_n} \\
& = \sqrt{2 \times 162} = 18
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_t = 18 . \, \heartsuit $

Contoh 13:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, … disisipkan sebanyak
3 bilangan. Tentukan suku ke-7 barisan yang baru.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rasio baru: $ r^* = \sqrt[k+1]{r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 32, 512, 8192, …
Suku pertama: $ a = 2 $
Rasio awal: $ r = \frac{32}{2} = 16 $
disisipkan 3 bilangan, $ k = 3 $
*).Menentukan rasio baru dan $ u_7 $:
$\begin{align}
r^* & = \sqrt[k+1]{r} \\
& = \sqrt[3+1]{16} \\
& = \sqrt[4]{16} = 2 \\
u_7 & = a(r^*)^{7-1} \\
& = 2 . 2^6 = 128
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_7 = 128 . \, \heartsuit $

Contoh 14:
Tentukan nilai dari $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + …$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah deret geometri tak hingga:
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Deret: $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … $
$ a = 2 $ dan rasio $ r = \frac{1}{2} $
*). Menentukan jumlahnya:
$\begin{align}
2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … & = s_\infty \\
& = \frac{a}{1-r} \\
& = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} \\
& = \frac{2}{\frac{1}{2}} \\
& = 2 \times \frac{2}{1} = 4
\end{align} $

Jadi, nilai $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 15:
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah …?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa rumus jumlah deret geometri tak hingga:
-). Lengkap
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + … = \frac{a}{1-r} $
-). indeks ganjil:
$ u_1 + u_3 + u_5 + … = \frac{a}{1-r^2} $
-). indeks genap:
$ u_2 + u_4 + u_6 + … = \frac{ar}{1-r^2 } $
-). rasio ($r$) :
$ r = \frac{s_{\infty genap}}{s_{\infty ganjil}} $
-). Jumlah keduanya:
$ s_{\infty lengkap} = s_{\infty ganjil} + s_{\infty genap} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui:
$ s_{\infty lengkap} = 6 $ dan $ s_{\infty ganjil} = 4 $
$ s_{\infty genap} = 6 – 4 = 2 $
rasio: $ r = \frac{s_{\infty genap}}{s_{\infty ganjil}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

*). Menentukan suku pertama dan $ u_6 $:
$\begin{align}
s_{\infty lengkap} & = 6 \\
\frac{a}{1-r} & = 6 \\
\frac{a}{1-\frac{1}{2} } & = 6 \\
\frac{a}{\frac{1}{2} } & = 6 \\
2a & = 6 \\
a & = 3 \\
u_6 & = ar^{6-1} \\
& = 3 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^5 \\
& = \frac{3}{32}
\end{align} $

Jadi, nilai $ u_6 = \frac{3}{32} . \, \heartsuit $

Contoh 16:
Hitunglah nilai dari:
$ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). untuk $ A \geq 0 $ , berlaku $ (\sqrt{A})^2 = A $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan: $ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} = P $
dengan $ P > 0 $.
*). Menentukan nilai $ P $ dengan mengkuadratkan:
$\begin{align}
P & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} \\
P^2 & = \left( \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} \right)^2 \\
P^2 & =2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}} \\
P^2 & =2P \\
P^2 – 2P & = 0 \\
P(P-2) & = 0 \\
P = 0 \vee P & = 2
\end{align} $
yang memenuhi $ P = 2 $.

Jadi, nilai $ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}} = 2 . \, \heartsuit $

Contoh 17:
Hitunglah bentuk tak hingga berikut:
$ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{…} } } } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan $ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{…} } } } = N $
dengan $ N > 0 $.
*). Menentukan nilai $ N $:
$\begin{align}
N & = 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{…} } } } \\
N & = 2+ \frac{3}{N } \, \, \, \text{(kali } N) \\
N^2 & = 2N+ 3 \\
N^2 – 2N – 3 & = 0 \\
(N+1)(N-3) & = 0 \\
N = -1 \vee N & = 3

\end{align} $
yang memenuhi $ N = 3 $.

Jadi, nilai $ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{…} } } } = 3 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA
untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Jika $ x_{k+1} = x_k + \frac{1}{2} $ untuk $ k = 1, 2, 3, … $ dan $ x_1 = 1 $, maka
nilai $ x_1 + x_2 + x_3 + … + x_{400} = …$?

2). Perhatikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395, …. Suku negatifnya yang pertama
adalah …?

3). Berapa bilangan bulat positif terkecil $ n $ sehingga
$ 1 + 2 + 3 + 4 + … + n > 100 $

4). Sebuah deret aritmatika terdiri dari $n$ suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 260,
besar suku tengahnya 20, serta beda deret tersebut adalah 3. Maka $U_6= …$?

5). Misalkan ${a_k}$ adalah barisan bilangan bulat sehingga $a_1=1$
dan $a_{m+n}=a_m a_n+mn$ untuk setiap bilangan bulat positif $m$ dan $n$.
Tentukan $a_2015$?

6). Pada suatu deret aritmetika berlaku $u_2+u_5+u_6+u_9=40$. Nilai $S_10=…$?

7). Bilangan bulat positif terkecil $a$ sehingga $2a+4a+6a+…+200a$ merpakan bilangan
kuadrat sempurna adalah …?

8). Jika jumlah 2016 bilangan bulat berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna,
maka tentukan nilai minimum dari ke 2016 bilangan tersebut?

9). Diketahui $a+(a+1)+(a+2)+…+50=1139$. Jika $a$ bilangan positif, maka $a=…?$

10). Misalkan $u_n$ adalah suku ke-$n$ dari suatu barisan aritmatika.
Jika $u_k=t$ dan $u_t=k$, maka tentukan nilai dari suku ke-$(k+t)$.

11). Diketahui barisan $U_1,U_2,U_3,…$ dengan $U_n-U_{n-1}+U_{n-2}=0$ untuk $n=2$.
Jika $S_{1492}=1865$ dan $S_{1865}=1492$. Tentukan $S_{1492+1865}$?
Catatan: $S_n=U_1+U_2+…+U_n$.

12). Bilangan rasional $a < b < c $ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3$. Banyaknya bilangan positif $a$ yang
memenuhi adalah …?

13). Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali suku ke-5. Suku yang
bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-…?

14). $k$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $36+k$, $300+k$, $596+k$ adalah kuadrat
dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai $k$.

15). Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap,
bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga bilangan
ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah …?

16). Agar bilangan $2^0+2^1+2^2+2^3+?+2^n$ sedekat mungkin kepada 2004, haruslah $n=…$?

17). Budi memilih suku-suku barisan geometri tak hingga $1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, …$
untuk membuat barisan geometri takhingga baru yang jumlahnya $\frac{1}{7}$. Tiga suku
pertama pilihan Budi adalah …?

18). Bilangan bulat positif terkecil $n$ dengan $n>2009$ sehingga
$\sqrt{\frac{1^3+2^3+3^3+…+n^3}{n}} $ merupakan bilangan bulat adalah …?

19). Misalkan $A$ adalah barisan $a_1,a_2,a_3,…$ dengan $a_{19}=a_{92}=0$ dan $\Delta A $
didefinisikan dengan barisan $a_2-a_1$, $a_3-a_2$, $a_4-a_3$, …. Jika semua suku
barisan $\Delta (\Delta A)$ sama dengan 1, maka nilai $a_1$ adalah …?

20). Barisan $1000$, $n$, $1000-n$, $n-(1000-n)$, $(1000-n)-(n-(1000-n))$, …. Dengan $n$
bilangan bulat berakhir ketika bilangan negatif muncul pertama kali. Sebagai contoh
untuk $n=100$, maka barisan tersebut adalah 1000, 100, 900, $-800$. Suku ke-4 barisan
tersebut negatif. Jadi, untuk $n=100$ maka barisan tersebut memiliki panjang 3.
Tentukan $n$ sehingga panjang barisan tersebut maksimum.

21). Barisan $u_1,u_2,u_3,….$ memenuhi $u_n= \frac{1}{n^2+n}$. Jika terdapat bilagnan
berurutan sehingga $ u_m+u_{m+1}+…+u_n= \frac{1}{29}$,
maka tentukan nilai $m+n$?

22). Dalam barisan naik empat bilangan bulat positif, tiga suku pertama membentuk barisan
aritmatika, tiga suku terakhir membentuk barisan geometri, dan suku pertama dan keempat
memiliki selisih 30. Tentukan jumlah keempat suku tersebut.

23). Pada sebuah bilangan positif 3,27 mempunyai arti bahwa 3 mewakili bagian bulat dari
bilangan dan 0,27 mewakili bagian desimal suatu bilangan. Tentukan bilangan positif yang
memenuhi bagian desimal, bagian bulat, dan bilangan itu sendiri membentuk barisan geometri.

24). Buktikan bahwa $P_1 P_2 \geq Q_1 Q_2$ jika
i). $a, c > 0$
ii). $a, P_1, P_2, c$ adalah barisan aritmatika dan
iii). $a, Q_1, Q_2, c$ adalah barisan geometri.

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Barisan dan Deret Olim Matik SMA.
(Masih dalam penyusunan).

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Labels:

Soal Review Materi 1.2 Bilangan Pecahan

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel
kali ini berisi tentang Soal Review Materi 1.2 Bilangan Pecahan. Tujuan Soal Review ini adalah agar siswa mau mengulang-ulang materi yang sudah
dipelajari dan akan bisa terus mengingat materi yang sudah ada dan bisa digunakan untuk mengerjakan soal-soal olimpiade matematika baik tingkat SD, SMP,
maupun SMA. Luangkanlah waktu untuk mengerjakan soal-soal ini dengan baik.

Total Waktu : 5 menit


Nomor 1.

Bentuk $ \frac{a}{b} $ disebut pecahan murni jika …?
A). $ a > b $
B). $ a < b $
C). $ a = b $
D). $ a \neq b $


Nomor 2.

Pernyataan yang benar berikut ini adalah …?
A). $ x – (-y) = x + y $
B). $ x -(y) = x + y $
C). $ \frac{-x}{-y} = -\frac{x}{y} $
D). $ \frac{x}{-y} = -\frac{-x}{y} $


Nomor 3.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+1)} = …$?
A). $ \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} $
B). $ \frac{1}{k} – \frac{k}{k+1} $
C). $ \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} $
D). $ \frac{1}{k-1} – \frac{1}{k+1} $


Nomor 4.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+m)} = …$?
A). $ \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+m} \right) $
B). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+m} \right) $
C). $ \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} \right) $
D). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} \right) $


Nomor 5.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+1).(k+2)} = …$?
A). $ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $
B). $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $
C). $ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $
D). $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $


Nomor 6.

Bentuk $ (a+b)^2 $ dapat dijabarkan menjadi ….?
A). $ a^2 + 2ab + b^2 $
B). $ a^2 + ab + b^2 $
C). $ a^2 – 2ab + b^2 $
D). $ a^2 – ab + b^2 $


Nomor 7.

Pemfaktoran dari $ a^2 – b^2 = …$?
A). $ (a+b)(a+b) $
B). $ (a-b)(a-b) $
C). $ (a+b)(a-b) $
D). $ (a+b)(-a+b) $


Nomor 8.

Bentuk $ a^3 + b^3 $ difaktorkan menjadi ….?
A). $ (a+b)(a^2 + ab + b^2) $
B). $ (a+b)(a^2 – ab + b^2) $
C). $ (a+b)(a^2 – 2ab + b^2) $
D). $ (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) $


Nomor 9.

Bentuk $ a^3 – b^3 = …$ ?
A). $ (a-b)(a^2 + ab + b^2 $
B). $ (a-b)(a^2 – ab + b^2 $
C). $ (a+b)(a^2 + ab + b^2 $
D). $ (a+b)(a^2 – ab + b^2 $


Nomor 10.

Bentuk $ a^4 – b^4 = …$?
A). $ (a^2 – b^2)(a^2 – b^2 ) $
B). $ (a^2 – b^2)(-a^2 + b^2 ) $
C). $ (a^2 + b^2)(a^2 + b^2 ) $
D). $ (a^2 + b^2)(a^2 – b^2 ) $


         Demikian artikel tentang Soal Review Materi 1.2 Bilangan Pecahan ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Labels:

Soal Review Materi 1.2 Prinsip Teleskopik

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel
kali ini berisi tentang Soal Review Materi 1.2 Prinsip Teleskopik. Tujuan Soal Review ini adalah agar siswa mau mengulang-ulang materi yang sudah
dipelajari dan akan bisa terus mengingat materi yang sudah ada dan bisa digunakan untuk mengerjakan soal-soal olimpiade matematika baik tingkat SD, SMP,
maupun SMA. Luangkanlah waktu untuk mengerjakan soal-soal ini dengan baik.

Total Waktu : 5 menit


Nomor 1.

Hasil yang tepat untuk pencoretan di bawah ini adalah …?
$ (a_2 – a_1) + (a_3 – a_2) + (a_5 – a_3) + …+ (a_n – a_{n-1}) $
A). $a_n – a_2 $
B). $ a_n – a_1 $
C). $ a_{n-1} – a_1 $
D). $ a_{n-1} – a_2 $


Nomor 2.

Hasil pencoretan yang benar bentuk berikut adalah …?
$\frac{p_2}{p_1}.\frac{p_3}{p_2}.\frac{p_4}{p_3}.\frac{p_5}{p_5}…\frac{p_n}{p_{n-1}}$
A). $ \frac{p_n}{p_1} $
B). $ \frac{p_n}{p_{n-1}} $
C). $ \frac{p_2}{p_{n-1}} $
D). $ \frac{p_{n+1}}{p_1} $


Nomor 3.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+1)} =… $
A). $ \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1} $
B). $ \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2} $
C). $ \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
D). $ \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k} $


Nomor 4.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+m)} = …$?
A). $ \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} $
B). $ \frac{1}{k} + \frac{1}{k+m} $
C). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+m} \right) $
D). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} \right) $


Nomor 5.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+1).(k+2)} = …$?
A). $ \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} $
B). $ \frac{1}{k(k+1)} – \frac{1}{(k+1)(k+2)} $
C). $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} – \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $
D). $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $


Nomor 6.

Bentuk $ \frac{1}{k.(k+m).(k+2m)} = …$?
A). $ \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k(k+m)} – \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $
B). $ \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k(k+m)} + \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $
C). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k(k+m)} + \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $
D). $ \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k(k+m)} – \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $


Nomor 7.

Bentuk $ k. k! = …$ ?
A). $ k! – k $
B). $ (k+1)! – k! $
C). $ (k+1)!- k $
D). $ k! – (k-1)! $


Nomor 8.

Bentuk $ \frac{k}{(k+1)!} = …$ ?
A). $ \frac{1}{k!} – \frac{1}{(k+1)!} $
B). $ \frac{1}{k!} + \frac{1}{(k+1)!} $
C). $ \frac{1}{(k+1)!} – \frac{1}{k!} $
D). $ \frac{1}{(k+1)!} + \frac{1}{k!} $


Nomor 9.

Bentuk sederhanan dari ekspresi berikut adalah …?
$ \left( 1 – \frac{1}{2} \right)\left( 1 – \frac{1}{3} \right)
\left( 1 – \frac{1}{4} \right)…\left( 1 – \frac{1}{n} \right)$
A). $ \frac{1}{n-1} $
B). $ \frac{2}{n-1} $
C). $ \frac{1}{n-1} $
D). $ \frac{1}{n} $


Nomor 10.

Bentuk sederhana dari ekspresi berikut adalah …?
$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+
\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} $
A). $\sqrt{n} + \sqrt{1} $
B). $\sqrt{n} – \sqrt{n-1} $
C). $\sqrt{n} – \sqrt{1} $
D). $\sqrt{n} – \sqrt{2} $


         Demikian artikel tentang Soal Review Materi 1.2 Prinsip Teleskopik ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Labels:

Bilangan Pecahan Olim Matik SMP

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Bilangan Pecahan Olim Matik SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal
lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Bilangan Pecahan Olim Matik SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar
yang harus dipahami oleh Pembaca.

(A). Bentuk Pecahan

       Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk $ \frac{a}{b} $ dengan $ a $
dan $ b $ bilangan bulat dan $ b \neq 0 $.
$ a $ disebut pembilang (numerator)
$ b $ disebut penyebut (denominator) $

Beberapa isitilah Pecahan:
*). Pecahan Murni (proper fraction)
    $ \frac{a}{b} $ disebut pecahan murni jika $ a < b $
*). Pecahan Semu (improper fraction)
    $ \frac{a}{b} $ disebut pecahan murni jika $ a > b $
*). Pecahan Campuran (mixed fraction)
    $ a\frac{b}{c} $ disebut pecahan campuran jika terdiri atas $ a $
yang merupakan bilangan bulat dan $ \frac{b}{c} $ merupakan
bagian pecaran murni.

(B). Sifat-sifat Operasi Bilangan Pecahan

       Ada beberapa operasi dasar pada bilangan pecahan yaitu
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Adapun sifat-sifat operasinya sama dengan
sifat pada bilangan real pada subab pertama “Operasi dan sifat-sifat bilangan”.

(C). Beberapa Aturan Menghilangkan Tada Kurung

       Untuk sebarang bilangan real $ x $ dan $ y $, berlaku:
1). $ x + (y) = x+ y $
2). $ x + (-y) = x – y $
3). $ x – (y) = x-y $
4). $ x – (-y) = x + y $
5). $ x \times (-y) = -xy $
6). $ (-x) \times y = -xy $
7). $ (-x) \times (-y) = xy $
8). $ (-1)^n = -1 $ untuk $ n $ ganjil
9). $ (-1)^n = 1 $ untuk $ n $ genap
10). Untuk $ y \neq 0 $, berlaku:
     $ \frac{x}{-y} = -\frac{x}{y} $ , $ \frac{-x}{y} = -\frac{x}{y} $,
$ \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} $

(D). Penggunaan Bentuk Aljabar pada Operasi Pecahan

       Beberapa bentuk aljabar yang bias membantu dalam operasi
hitung pecahan yang membentuk suatu pola:
1). $ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} $
2). $ \frac{1}{k(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} \right) $
3). $ \frac{1}{k(k+m)(k+2m)} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k(k+m)} – \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $
4). $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
5). $ (a – b )^2 = a^2 – 2ab + b^2 $
6). $ a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) $
7) $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2 ) $
8) $ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2 ) $
9). $ a^4 – b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 – b^2) $

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Bilangan Pecahan Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Nilai $ 123456789 \times 999999999 = …$ ?

Contoh 2:
Nilai $ \frac{13576}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} = …$?

Contoh 3:
Nilai $ \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} = …$ ?

Contoh 4:
Tentukan hasil dari operasi hitung berikut:
$ \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)…(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)…(99\times 102 +2)} $

Contoh 5:
Nilai $ 3 – \frac{1}{2} – \frac{1}{6} – \frac{1}{12} – \frac{1}{20} – \frac{1}{30}
– \frac{1}{42} – \frac{1}{56} = …$?

Contoh 6:
Nilai $ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} = …$?

Contoh 7:
Nyatakan bentuk desimal berikut dalam bilangan rasional (bilangan pecahan):
a). $ 0,33333….. = 0,\overline{3} $
b). $ 0,12121212…… = 0,\overline{12} $
c). $ 3,154154154 …..= 3,\overline{154} $

Contoh 8:
Jika $ \frac{a+b}{a-b} = 7 $, maka nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} – \frac{a-b}{3(a+b)} = …$?

Contoh 9:
Jika $ \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5} $ dan $ 3x – 2y + z = 18 $, maka nilai dari
$ x+5y – 3z = …$?

Contoh 10:
Nilai $ \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+…+\frac{1}{2025^2+2025} = …$?

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Nilai $ 123456789 \times 999999999 = …$ ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a(b – c) = ab – ac $
*) $ a(b-1) = a\times b – a $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align}
& 123456789 \times 999999999 \\
& = 123456789 \times (1000000000 – 1) \\
& = 123456789 \times 1000000000 – 123456789 \\
& = 123456789000000000 – 123456789 \\
& = 12345678887654321
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 12345678887654321. \, \heartsuit $

Contoh 2:
Nilai $ \frac{13579}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 $
*) $ (a-1)(a+1) = a^2 – 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). misalkan $ a = 13579 $
$\begin{align}
& \frac{13576}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(13579)^2 – (13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(13579)^2 – (13579-1)(13579+1)} \\
& = \frac{a}{(a)^2 – (a-1)(a+1)} \\
& = \frac{a}{a^2 – (a^2 – 1)} \\
& = \frac{a}{a^2 – a^2 + 1} \\
& = \frac{a}{ 1} \\
& = a \\
& = 13579
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 13579. \, \heartsuit $

Contoh 3:
Nilai $ \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} = …$ ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) $
*). $ a(a-b) = a^2 – ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 83 $ dan $ b = 17 $
$\begin{align}
& \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} \\
& = \frac{83^3 + 17^3}{83 \times (83-17) + 17^2} \\
& = \frac{a^3 + b^3}{a \times (a-b) + b^2} \\
& = \frac{(a+b)(a^2 – ab + b^2)}{a^2 – ab + b^2} \\
& = \frac{a+b}{1} \\
& = a + b \\
& = 83 + 17 \\
& = 100
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 100 . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan hasil dari operasi hitung berikut:
$ \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)…(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)…(99\times 102 +2)} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ n(n+3)+2 = n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)…(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)…(99\times 102 +2)} \\
& = \frac{(5\times 6)(7\times 8)(9\times 10)…(101\times 102)}{(6\times 7)(8\times 9)(10\times 11)…(100\times 101)} \\
& = 5 \times 102 \\
& = 510
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 510 . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Nilai $ 3 – \frac{1}{2} – \frac{1}{6} – \frac{1}{12} – \frac{1}{20} – \frac{1}{30}
– \frac{1}{42} – \frac{1}{56} = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& 3 – \frac{1}{2} – \frac{1}{6} – \frac{1}{12} – \frac{1}{20} – \frac{1}{30}
– \frac{1}{42} – \frac{1}{56} \\
& = 3 – \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}
+ \frac{1}{42} + \frac{1}{56} \right) \\
& = 3 – \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6}
+ \frac{1}{6.7} + \frac{1}{7.8} \right) \\
& = 3 – \left[ \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right)
+ \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + … + \left(\frac{1}{7} – \frac{1}{8} \right)
\right] \\
& = 3 – \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{8} \right) \\
& = 3 – \frac{7}{8} = 2 \frac{1}{8}
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 2 \frac{1}{8} . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Nilai $ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+m} \right) $
*). $ \frac{1}{k.(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} \\
& = \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\frac{1}{11.13} \\
& = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right)
+ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) + … +
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{11} – \frac{1}{13} \right) \\
& = \frac{1}{2} \left[
\left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right)
+ \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) + … +
\left( \frac{1}{11} – \frac{1}{13} \right)
\right] \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1} – \frac{1}{13} \right] \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{12}{13} \right] = \frac{6}{13}
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ \frac{6}{13} . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Nyatakan bentuk desimal berikut dalam bilangan rasional (bilangan pecahan):
a). $ 0,33333….. = 0,\overline{3} $
b). $ 0,12121212…… = 0,\overline{12} $
c). $ 3,154154154 …..= 3,\overline{154} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ ab = c \rightarrow b = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan masing-masing:

a). $ 0,33333….. = 0,\overline{3} $
misal: $ a = 0,333333….$ maka $ 10a = 3,33333…. $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
10a – a & = 3,33333…. – 0,33333….\\
9a & = 3 \\
a & = \frac{3}{9} \\
a & = \frac{1}{3}
\end{align} $
sehingga $ 0,33333… = \frac{1}{3} . \, \heartsuit$

b). $ 0,12121212…… = 0,\overline{12} $
misal: $ b = 0,12121212….$ maka $ 100b = 12,12121212…. $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
100b – b & = 12,12121212…. – 0,12121212 …. \\
99b & = 12 \\
b & = \frac{12}{99} \\
b & = \frac{4}{33}
\end{align} $
sehingga $ 0,12121212… = \frac{4}{33} . \, \heartsuit$

c). $ 3,154154154 …..= 3,\overline{154} $
misal: $ c = 3,154154154….$ maka $ 1000c = 3154,154154154…. $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
1000c – c & = 3154,154154154… – 3,154154154…. \\
999c & = 3151 \\
c & = \frac{3151}{999}
\end{align} $
sehingga $ 3,154154154… = \frac{3151}{999} . \, \heartsuit$

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ 0,aaaa…. = \frac{a}{9} $
*). $ 0,ababab…. = \frac{ab}{99} $
*). $ 0,abcabcabc…. = \frac{abc}{999} $

$\clubsuit $ Pembahasan
a). $ 0,33333….. = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $
b). $ 0,12121212…… = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} $
c). $ 3,154154154 …..= 3+0,154154154… = 3 + \frac{154}{999} = \frac{3151}{999} $

Contoh 8:
Jika $ \frac{a+b}{a-b} = 7 $, maka nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} – \frac{a-b}{3(a+b)} = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{P}{Q} = m \rightarrow \frac{Q}{P} = \frac{1}{m} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui
$ \frac{a+b}{a-b} = 7 $ maka $ \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{7} $
*). menentukan hasil:
$\begin{align}
& \frac{2(a+b)}{a-b} – \frac{a-b}{3(a+b)} \\
& = 2. \frac{a+b}{a-b} – \frac{1}{3} .\frac{a-b}{a+b} \\
& = 2 . 7 – \frac{1}{3} .\frac{1}{7} \\
& = 14 – \frac{1}{21} \\
& = 13 \frac{20}{21}
\end{align} $

Jadi, nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} – \frac{a-b}{3(a+b)} = 13\frac{20}{21} . \, \heartsuit $

Contoh 9:
Jika $ \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5} $ dan $ 3x – 2y + z = 18 $, maka nilai dari
$ x+5y – 3z = …$?

Contoh 10:
Nilai $ \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+…+\frac{1}{2025^2+2025} = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k.(k+1)} $
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+…+\frac{1}{2025^2+2025} \\
& = \frac{1}{1.(1+1)}+\frac{1}{2.(2+1)}+\frac{1}{3.(3+1)}+…+\frac{1}{2025.(2025+1)} \\
& = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+…+\frac{1}{2025.2026} \\
& = \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right)
+ \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + … + \left(\frac{1}{2025} – \frac{1}{2026} \right) \\
& = \frac{1}{1} – \frac{1}{2026} \\
& = \frac{2025}{2026}
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ \frac{2025}{2026} . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Bilangan Pecahan Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Nilai $ \frac{20232028^2}{20232027^2+20232029^2 – 2} = …$?

2). Jika $ ab < 0 $, maka hubungan antara $ (a – b)^2 $ dan $ (a + b)^2 $ adalah …?
A). $ (a-b)62 < (a+b)^2 $
B). $ (a-b)^2 = (a+b)^2 $
C). $ (a-b)^2 > (a+b)^2 $
D). Tidak bisa ditentukan.

3). Jika $ -1 < a < 0 $, maka hubungan dari $ a^3 $, $ -a^3 $, $ a^4 $, $ -a^4 $,
$ \frac{1}{a} $ , dan $ – \frac{1}{a} $ jika diurutkan dari nilai yang terkecil
ke yang terbesar adalah …?

4). Untuk $ x > 7 $, maka dari dari bentuk berikut ini yang nilainya paling kecil
adalah …?
A). $ \frac{7}{x} $
B). $ \frac{7}{x+1} $
C). $ \frac{x}{5} $
D). $ \frac{x+1}{5} $

5). Jika $ 3x $, $ \frac{3}{x} $, dan $ \frac{15}{x} $ adalah bilangan bulat, bilangan
berapakah berikut ini yang juga merupakan bilangan bulat …
       I). $ \frac{x}{3} \, \, \, $ II). $ x \, \, \, $ III). $ 6x $
A). I saja
B). II saja
C). III saja
D). I dan III saja
E). II dan III saja

6). Bilangan asli $ n $ sedemikian hingga hasil kali
$ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)…\left( 1 + \frac{1}{n} \right) $
merupakan bilangan bulat adalah …?
A). $ n $ ganjil
B). $ n $ genap
C). $ n $ kelipatan 3
D). $ n $ sembarang
E). tidak ada $ n $ yang memenuhi

7). Untuk semua nilai $ y $, jika $ y $ genap, maka $ y^* $ didefinisikan sebagai $ 0,5y $ dan jika
$ y $ ganjil maka $ y^* $ didefinisikan sebagai $ \frac{y}{3} $. Berapakah nilai dari
$ \frac{(6a)^*}{9^*} $, dimana $ a $ bilangan bulat.
A). $ 2a $
B). $ 3a $
C). $ a^* $
D). $ (2a)^* $
E). $ (4a)^* $

8). Tentukan bentuk pecahan yang ekuivalen dengan desimal berulang
$ 0,\overline{123} = 0,123123123…$ ?

9). Jika bilangan $ 0,4203520352035… $ dapat dinyatakan dalam $ \frac{p}{q} $, dengan $ p $
dan $ q $ relatif prima, maka berapakah nilai $ p + q $ ?

10). Hitunglah nilai dari
$\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \times
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) –
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right) \times
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right) $

11). Jika $ ab = 1 $ , maka nilai dari $ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} = … $ ?

12). Hitunglah nilai dari
$ -1 – (-1)^1 – (-1)62 – (-1)^3 – …- (-1)^{2024} – (-1)^{2025} $

13). Hitunglah nilai dari
$ 2028 \times 20292029 – 2029 \times 20282028 $

14). Dari bilangan 2029, kurangkan dengan setengahnya, kemudian hasilnya kurangkan dengan $ \frac{1}{3} $ dari
sisanya, berikutnya sisanya kurangkan lagi dengan $ \frac{1}{4} $ dari sisanya, dan seterusnya
sampai dikurangkan dengan $ \frac{1}{2029} $ daris sisanya. Berapakah sisa bilagnan terakhir
yang diperoleh?

15). Hitunglah
$ \frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\frac{1}{11.13}+\frac{1}{13.15} $

16). Nilai dari $ \frac{1}{10}+\frac{1}{40}+\frac{1}{88}+\frac{1}{154}+\frac{1}{238} $

17). Hitunglah hasil dari
$\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}\right) \times
\left( 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{2023}\right) –
\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}\right) \times
\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}\right) $

18). Hitunglah nilai dari
$ \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} +\frac{1}{1+2+3+4} + … + \frac{1}{1+2+3+…+2026} $

19). Diberikan $ n $ bilangan bulat positif, tentukan bentuk sederhana dari
$ 1 + \frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3}+\frac{2}{3}+
\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+…+\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+…+\frac{1}{n} $

20). Hitunglah nilai dari
$ 1^2 – 2^2 +3^2 – 4^2 +…-2024^2 + 2025^2 $

21). Hitunglah
$ 11 + 192 + 1993 + 19994 + 199995 + 1999996 + 19999997 + 199999998 + 1999999999 $

22). Hitunglah
$ \frac{3^2+1}{3^2 – 1}+\frac{5^2+1}{5^2 -1}+\frac{7^2+1}{7^2-1}+…+\frac{99^2+1}{99^2-1} $

23). Setelah menyederhanakan, nilai
$ 1 – \frac{2}{1.(1+2)} – \frac{3}{(1+2)(1+2+3)} – \frac{4}{(1+2+3)(1+2+3+4)}- … –
\frac{100}{(1+2+…+99)(1+2+…+100)} $
dalam bentuk paling sederhana. Tentukan selisih pembilanga dan penyebutnya.

24). Hitunglah
$ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+…+\frac{1}{100.101.102} $

25). Hitunglah
$ \frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+\frac{3}{1+3^2+3^4}+…+\frac{50}{1+50^2+50^4} $

26). Hitunglah
$ \frac{1^2}{1^2-1+50}+\frac{2^2}{2^2-20+50}+…+\frac{80^2}{80^2-80+50} $

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Bilangan Pecahan Olim Matik SMP.

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Bilangan Pecahan Olim Matik SMP dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Labels:

Soal Latihan Timer A 1.1 Operasi dan Sifat Bilangan

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel
kali ini berisi tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Operasi dan Sifat Bilangan. Tujuan dari Soal Latihan Timer ini adalah agar Pembaca bisa mengulang-ulang
melatih dan mengerjakan soal-soal yang sudah dipelajari sampai lancar, sehingga jika ada bentuk soal yang serupa atau dengan logika yang sama
maka Pembaca akan dapat dengan mudah untuk mengerjakannya. Soal Latihan Timer ini bisa dikerjakan berkali-kali, jadi silahkan
luangkan waktunya. OK. Semangat Berlatih Pembaca. Semoga bermanfaat.

Total Waktu : 30 menit


Nomor 1.

Hitunglah selisih jumlah semua bilangan genap terhadap jumlah
semua bilangan ganjil dari 2021 sampai 4042?
A). 1010
B). 1011
C). 1012
D). 1014


Nomor 2.

Dalam penjumlahan di bawah ini. $a, b, c, d, e,$ dan $f$ merupakan angka-angka tunggal yang tidak
sama yang memenuhi $\overline{abc}+ \overline{def} = 1.838$. Tentukan nilai terbesar dari $(a+b+c+d+e+f)$?

A). 36
B). 37
C). 38
D). 39


Nomor 3.

Wati merahasiakan 3 buah bilangan. Kemudian, ia menjumlahkan setiap 2 bilangan dan hasilnya sama
dengan 2022, 2023, dan 2025. Bilangan terbesarnya adalah …?
A). 1011
B). 1012
C). 1013
D). 1015


Nomor 4.

Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:
$2025 + 2025^2 + 2025^3 + 2025^4 + …. + 2025^{2023} + 2025^{2024} $.
A). 0
B). 3
C). 5
D). 7


Nomor 5.

Tentukan nilai dari:
$ 2025 \times 20222022 – 2022 \times 20232023$
A). 10111011
B). 20222022
C). 30333033
D). 40444044


Nomor 6.

Tentukan banyaknya bilangan $n$ sehingga $n$ dan $\frac{n+2024}{n-1} $ keduanya merupakan bilangan
bulat!
A). 6
B). 15
C). 30
D). 45


Nomor 7.

Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang merupakan solusi dari
persamaan $ \frac{6}{m} + \frac{3}{n} = 1 $
A). 5
B). 6
C). 7
D). 8


Nomor 8.

Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n) $ dengan $n$ bilangan ganjil yang
memenuhi $\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = \frac{1}{18} $
A). 4
B). 5
C). 6
D). 18


Nomor 9.

Untuk semua bilangan bulat positif, didefinisikan $x^*$ sebagai penjumlahan bilangan bulat dari
1 sampai $x$. Nilai dari $2025^* – 2024^* $ adalah …?
A). 2022
B). 2023
C). 2024
D). 2025


Nomor 10.

Tentukan bilangan bulat $n$ terkecil sehingga jumlah dari tujuh bilangan bulat ganjil berurutan
dimulai dari $n$ menghasilkan bilangan prima!
A). $ – 6 $
B). $ -5 $
C). $ -4 $
D). $ – 1 $


         Demikian artikel tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Operasi dan Sifat Bilangan ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Labels:

Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA Level SMA Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi bentuk Prinsip Teleskopik lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa Pembaca pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Prinsip Teleskopik ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah
dicoba, silahkan Pembaca cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Prinsip Teleskopik

       Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal yaitu penjumlahan dan perkalian:

1). Bentuk penjumlahan
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(P_{i+1} – P_i \right) $
$ = (P_2 – P_1 ) + (P_3 – P_2) + (P_4 – P_3) + … + (P_n – P_{n-1}) + (P_{n+1} – P_n) $
$ = P_{n+1} – P_1 $

2). Bentuk Perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i}
= \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}…\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Tentukan nilai $ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+…+\frac{1}{2022.2023}$?

Contoh 2:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)…\left( 1- \frac{1}{2022}\right)$ ?

Contoh 3:
Diketahui
$ A = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)…\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) $
$ B = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)…\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) $
Bentuk sederhana dari $ A \times B = …$?

Contoh 4:
Buktikan bahwa
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + …+\frac{1}{\sqrt{2044} + \sqrt{2025}} = 44 $

Contoh 5:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + … + 2022.2022! $

Contoh 6:
Tunjukkan bahwa $ \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}…\frac{9999}{10000} < \frac{1}{100} $

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Tentukan nilai $ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+…+\frac{1}{2022.2023}$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} $
*). $ \frac{1}{k.(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align}
& \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+…+\frac{1}{2022.2023} \\
& = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right)+ …
+\left( \frac{1}{2021} – \frac{1}{2022} \right)+\left( \frac{1}{2022} – \frac{1}{2023} \right) \\
& = \frac{1}{1} – \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}
\end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $ \frac{2022}{2023} . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)…\left( 1- \frac{1}{2022}\right)$ ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk: $ 1 – \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k} $
*). Prinsip Teleskopik perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i}
= \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}…\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align}
& \left( 1- \frac{1}{4}\right) \left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{6}\right)…\left( 1- \frac{1}{2022}\right) \\
& = \left( \frac{3}{4}\right) \left( \frac{4}{5}\right)\left( \frac{5}{6}\right)…\left( \frac{2020}{2021}\right)\left( \frac{2021}{2022}\right) \\
& =\frac{3}{2022} = \frac{1}{674}
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ \frac{1}{674} . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Diketahui
$ A = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)…\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) $
$ B = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)…\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) $
Bentuk sederhana dari $ A \times B = …$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk: $ 1 – \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k} $
*). Bentuk: $ 1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k} $
*). Prinsip Teleskopik perkalian
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n} \frac{P_{i+1}}{P_i}
= \frac{P_2}{P_1}.\frac{P_3}{P_2}.\frac{P_4}{P_3}…\frac{P_n}{P_{n-1}}.\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{P_{n+1}}{P_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan masing-masing:
$ \begin{align}
A & = \left( 1- \frac{1}{3}\right)\left( 1- \frac{1}{5}\right)\left( 1- \frac{1}{7}\right)…\left( 1- \frac{1}{2021}\right)\left( 1- \frac{1}{2023}\right) \\
& = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} … \frac{2020}{2021} . \frac{2022}{2023} \\
B & = \left( 1+ \frac{1}{2}\right)\left( 1+ \frac{1}{4}\right)\left( 1+ \frac{1}{6}\right)…\left( 1+ \frac{1}{2022}\right)\left( 1+ \frac{1}{2024}\right) \\
& = \frac{3}{2} . \frac{5}{4} . \frac{7}{6} … \frac{2023}{2022} . \frac{2025}{2024}
\end{align} $

*). Menentukan hasil perkaliannya:
$ \begin{align}
A \times B & = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} … \frac{2020}{2021} . \frac{2022}{2023} \times
\frac{3}{2} . \frac{5}{4} . \frac{7}{6} … \frac{2023}{2022} . \frac{2025}{2024} \\
& = \frac{2}{3}.\frac{3}{2}.\frac{4}{5}.\frac{5}{4}.\frac{6}{7}.\frac{7}{6}…\frac{2022}{2023}.\frac{2023}{2022}.\frac{2025}{2024} \\
& = \frac{2025}{2024}
\end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $ \frac{2025}{2024} . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Buktikan bahwa
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + …+\frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}} = 44 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Merasionalkan bentuk akar:
$ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} – \sqrt{k} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + …+\frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}} \\
& = (\sqrt{2} – \sqrt{1}) +(\sqrt{3} – \sqrt{2}) + (\sqrt{4} – \sqrt{3}) + … \\
& \, \, \, \, \, \, \, \, …+
(\sqrt{2024} – \sqrt{2023}) + (\sqrt{2025} – \sqrt{2024}) \\
& = – \sqrt{1} + \sqrt{2025} \\
& = -1 + 45 = 44
\end{align} $

Jadi, terbukti benar hasilnya $ 44 . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Sederhanakan bentuk berikut!
$ 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + … + 2022.2022! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ k.k! = (k+1)! – k! $
Bukti:
$\begin{align}
(k+1)! & = (k+1).k! \\
(k+1)! & = k.k! + k! \\
k. k! & = (k+1)! – k!
\end{align} $

Contoh:
$ 1. 1! = (1+1)! – 1! = 2! – 1! $
$ 2.2! = (2+1)! – 2! = 3! – 2! $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$\begin{align}
& 1. 1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + … + 2022.2022! \\
& = (2!-1!) + (3!-2!) + (4!-3!) + …+ (2022!-2021!) + (2023!-2022!) \\
& = -1! + 2023! \\
& = 2023! – 1
\end{align} $

Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 2023! – 1 . \, \heartsuit $

Catatan:
Rumus sederhananya:
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n k.k! = (n+1)! – 1 $

Contoh 6:
Tunjukkan bahwa $ \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}…\frac{9999}{10000}

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap bilangan real positif berlaku $ \frac{1}{k+1}
*). Untuk sebarang bilangan real $ x > 1 $ berlaku $ \frac{x-1}{x}
Pembuktian:
Karena $ x $ positif, maka $ x + 1 $ juga positif.
Untuk setiap bilangan real $ x $ berlaku $ x^2 – 1
sehingga
$\begin{align}
x^2 – 1 &

Contoh:
$ x = 2 \rightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{3} $
$ x = 3 \rightarrow \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $
dan seterusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan:
$ A = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}…\frac{9999}{10000} $
$ B = \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}…\frac{10000}{10001} $
Dimana hasil perkalian $ A \times B $ yaitu
$ A \times B = \frac{1}{10001} $
Karena $ \frac{1}{10001} < \frac{1}{10000} $, maka $ A \times B < \frac{1}{10000} $.

*). Berdasarkan $ \frac{x-1}{x} < \frac{x}{x+1} $,
Kita peroleh:
$ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} , \frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \frac{5}{6} < \frac{6}{7},
\frac{9999}{10000} < \frac{10000}{10001} $
*). Kalikan semua bentuk ketaksamaannya (boleh dikalikan karena semuanya positif):
$\begin{align}
\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}…\frac{9999}{10000} & < \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}…\frac{10000}{10001}
\end{align} $
Artinya $ A < B $

*). Kalikan $ A $ pada kedua ruas dari $ A < B $
$ \begin{align}
A & < B \\
A \times A & < A \times B \\
A^2 & < \frac{1}{10000} \\
A & < \frac{1}{100}
\end{align} $

Jadi, terbukti bahwa $ A < \frac{1}{100} . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA
untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Sederhanakanlah bentuk
$ \left( 1 – \frac{1}{2^2} \right)\left( 1 – \frac{1}{3^2} \right)\left( 1 – \frac{1}{4^2} \right)…\left( 1 – \frac{1}{2022^2} \right) $

2). Buktikan bahwa:
$ \frac{1}{1999} < \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}…\frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} $

3). Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari bentuk berikut:
$(2+1)(2^2+1)(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)…(2^{2^{2025}}+1) = 2^a + b $

4). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+…+\frac{1}{1998.3001} $

5). Sederhanakan bentuk berikut:
a). $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{4.6}+…+\frac{1}{n.(n+2)} $
b). $ \frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+…+\frac{2n+1}{n^2.(n+1)^2}$

6). Sederhanakan bentuk berikut:
a). $ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+…+\frac{n}{(n+1)!} $
b). $ \frac{2}{0!+1!+2!}+\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+…+\frac{n+1}{(n-1)!+n!+(n+1)!}$

7). Hitunglah bentuk berikut:
$ \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + …
+ \sqrt{1+\frac{1}{2021^2}+\frac{1}{2022^2}} $

8). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{2^2}{2^2 – 1}+\frac{3^2}{3^2 – 1}+\frac{4^2}{4^2 -1}+ … + \frac{2022^2}{2022^2-1} $

9). Sederhanakanlah bentuk berikut:
$ 3.1! + 7.2! + 13.3! + …+ (n^2 +n +1). n! $

10). Tentukan hasil dari:
$ \frac{1}{1.4.7}+\frac{1}{4.7.10}+\frac{1}{7.10.13}+…+\frac{1}{25.28.31}$

11). Misalkan $ f $ adalah fungsi yang memenuhi $ f(n)=f(n-1)+\frac{n}{2022} $ untuk
setiap $ n $ bilangan asli. Jika $ f(0) = \frac{2021}{4044} $, maka tentukan nilai $ f(2022) $

12). Tentukan hasil dari:
$ \sqrt{1+\frac{1}{4}}.\sqrt{1+\frac{1}{5}}.\sqrt{1+\frac{1}{6}}…\sqrt{1+\frac{1}{2024}} $

13). Hitunglah bentuk berikut:
$ \frac{1}{1+2^{-2025}}+\frac{1}{1+2^{-2024}}+\frac{1}{1+2^{-2023}}+…+\frac{1}{1+2^0}+…+\frac{1}{1+2^{2023}}+\frac{1}{1+2^{2024}}+\frac{1}{1+2^{2025}} $

14). Hitunglah nilai dari
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{2022} \frac{k^2 + 3k + 1}{(k+1)(k+2)} $

15). Buktikan bahwa hasil kali 99 bilangan $ \frac{k^3 – 1}{k^3 + 1} $, dengan $ k = 2, 3, 4, 5, …, 100 $
lebih dari $ \frac{2}{3} $

16). Tentukan nilai dari:
$ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+…+\frac{1}{1+2+3+…+2024} $

17). Barisan bilangan ${p_n} $ didefinisikan sebagai $ p_n = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1}} $
dimana $ n $ bilangan bulat positif. Jumlah $ n $ suku pertama barisan ${p_n} $ didefinisikan sebagai
$ s_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i $. Berapa banyak suku-suku dalam barisan $ s_1$, $ s_2 $, $ s_3$, $s_4$, …, $s_{2025}$ yang merupakan
bilangan rasional?
Catatan: $ s_1 = p_1 = \frac{1}{2+\sqrt{2}} $

18). Pertidaksamaan beriku berlaku untuk semua bilangan bulat positif $ n $.
$ \, \, \, \, \, \, \sqrt{n+1} – \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{4n+1}}<\sqrt{n} – \sqrt{n-1} $
Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{2024} \frac{1}{\sqrt{4n+1}} $

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA.
(Masih dalam penyusunan).

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Prinsip Teleskopik Olim Matik SMA dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Labels:

Soal Latihan Timer A 1.1 Pemfaktoran dan Penguraian

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel
kali ini berisi tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Pemfaktoran dan Penguraian. Tujuan dari Soal Latihan Timer ini adalah agar Pembaca bisa mengulang-ulang
melatih dan mengerjakan soal-soal yang sudah dipelajari sampai lancar, sehingga jika ada bentuk soal yang serupa atau dengan logika yang sama
maka Pembaca akan dapat dengan mudah untuk mengerjakannya. Soal Latihan Timer ini bisa dikerjakan berkali-kali, jadi silahkan
luangkan waktunya. OK. Semangat Berlatih Pembaca. Semoga bermanfaat.

Total Waktu : 30 menit


Nomor 1.

Hitunglah nilai dari
$ \sqrt{40 \times 41 \times 42 \times 43 +1} $
A). 1711
B). 1719
C). 1721
D). 1729


Nomor 2.

Jumlah dua bilangan adalah 4 dan hasil kalinya adalah 5. Tentukan
jumlah kubik kedua bilangan tersebut.
A). 4
B). 5
C). 6
D). 7


Nomor 3.

Jika $ \frac{3a+4b}{2a-2b} = 4 $, maka nilai $ \frac{a^2 + 2b^2}{ab} $ adalah …?
A). $ \frac{96}{30} $
B). $ \frac{97}{30} $
C). $ \frac{98}{30} $
D). $ \frac{99}{30} $


Nomor 4.

Nilai dari $ \frac{(2022^{2023} + 2023^{2022})^2 + (2023^{2022} – 2022^{2023})^2}{2022^{4044} + 2022^{4046}} $ adalah …?
A). $ – 1 $
B). 0
C). 1
D). 2


Nomor 5.

Jika $ x + y + 2\sqrt{x+y} = 3 $ dan $ x – y – 3\sqrt{x-y} = 10 $,
maka nilai $ x.y = …$ ?
A). $ -155 $
B). $ -156 $
C). $ -157 $
D). $ -158 $


Nomor 6.

Jika $ \sqrt{14y^2 – 20y + 10} + \sqrt{14y^2 – 20y – 5} = 3 $, maka
nilai dari $ \sqrt{14y^2 – 20y + 10} – \sqrt{14y^2 – 20y – 5} = …$?
A). 3
B). 4
C). 5
D). 6


Nomor 7.

Bentuk sederhana dari
$ (3 – \sqrt{8})(\sqrt{3+\sqrt{8}}) + (3 + \sqrt{8})(\sqrt{3 – \sqrt{8}}) $
adalah …?
A). $ \sqrt{2} $
B). $ 2\sqrt{2} $
C). $ 3\sqrt{2} $
D). $ 4\sqrt{2} $


Nomor 8.

Jika $ x = \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4} + 1 $, maka nilai dari
$ \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^3 $ adalah …?
A). 2
B). 3
C). 4
D). 5


Nomor 9.

Bentuk sederhana dari
$ \frac{(10^4 + 2^2)(14^4 + 2^2)(18^4 + 2^2)(22^4 + 2^2)(26^4 + 2^2)}{(8^4 + 2^2)(12^4 + 2^2)(16^4 + 2^2)(20^4 + 2^2)(24^4 + 2^2)} $
adalah …?
A). $ \frac{71}{5} $
B). $ \frac{73}{5} $
C). $ \frac{77}{5} $
D). $ \frac{79}{5} $


Nomor 10.

Tentukan banyaknya bilangan bulat $ n $ yang memenuhi
$ \sqrt{\frac{11}{2} + \sqrt{\frac{121}{4} – n}} + \sqrt{\frac{11}{2} – \sqrt{\frac{121}{4} – n}} $
adalah bilangan bulat.
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3


         Demikian artikel tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Pemfaktoran dan Penguraian ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Labels:

Soal Review Materi 1.1 Pemfaktoran dan Penguraian


Nomor 1.

Bentuk pemfaktoran yang benar berikut ini adalah …?
A). $ a^2 – b^2 = (a-b)(a-b) $
B). $ a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) $
C). $ a^2 + b^2 = (a + b)(a+b) $
D). $ a^2 + b^2 = (a+b)(a-b) $


Nomor 2.

Pemfaktoran berikut yang benar adalah …?
A). $ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
B). $ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 – ab + b^2 )$
C). $ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab – b^2 )$
D). $ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 – ab – b^2) $


Nomor 3.

Bentuk pemfaktoran berikut yang benar adalah …?
A). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + ab + b^2 ) $
B). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2 ) $
C). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab – b^2 ) $
D). $ a^3 + b^3 = (a-b)(a^2 – ab + b^2 ) $


Nomor 4.

Bentuk peemfaktoran berikut yang benar adalah …?
A). $ a^5 – b^5 = (a-b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4) $
B). $ a^5 – b^5 = (a+b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 + ab^3 – b^4) $
C). $ a^5 – b^5 = (a+b)(a^4 + a^3b – a^2b^2 + ab^3 + b^4) $
D). $ a^5 – b^5 = (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) $


Nomor 5.

Bentuk pemfaktoran berikut yang benar adalah …. ?
A). $ a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) $
B). $ a^5 + b^5 = (a-b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4) $
C). $ a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4) $
D). $ a^5 + b^5 = (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) $


Nomor 6.

Bentuk pemfaktoran berikut yang benar adalah …?
A). $ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $
B). $ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) $
C). $ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) $
D). $ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b-c)(a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca) $


Nomor 7.

Berikut ini yang merupakan bentuk identitas Sophie Germain adalah …?
A). $ a^4 + 4b^4 = (a^2-2ab+2b^2)(a^2 – 2ab + 2b^2) $
B). $ a^4 + 4b^4 = (a^2+2ab+2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2) $
C). $ a^4 + 4b^4 = (a^2+2ab+2b^2)(a^2 – 2ab + 2b^2) $
D). $ a^4 + 4b^4 = (a^2+2ab-2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2) $


Nomor 8.

Bentuk penguraian berikut yang tepat adalah …?
A). $ (a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 $
B). $(a+1)(b+1)(c+1) = abc – ab + bc + ca – a + b + c + 1 $
C). $(a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab – bc + ca – a + b + c – 1 $
D). $(a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab + bc – ca + a – b + c – 1 $


Nomor 9.

Bentuk ekspansi yang tepat berikut ini adalah …?
A). $ (a+b+c+d)^2 = a^2-b^2+c^2+d^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $
B). $ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2-c^2+d^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $
C). $ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2-d^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $
D). $ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $

dengan $ \displaystyle \sum_{cyc} ab = ab + ac + ad + bc + bd + cd $


Nomor 10.

Bentuk penguraian yang tepat berikut ini adalah …?
A). $ (a – b)^4 = a^4-4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4 $
B). $ (a – b)^4 = a^4-4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $
C). $ (a – b)^4 = a^4+4a^3b – 6a^2b^2 + 4ab^3 – b^4 $
D). $ (a – b)^4 = a^4+4a^3b – 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4 $


Nomor 11.

Bentuk $ (a + b)^5 $ dapat dijabarkan yaitu:
$ (a+b)^5 = a^5 + ma^3b^2 + 5a^4b + 10a^2b^3 + nab^4 + b^5 $
Nilai $ m + n = …$?
A). 5
B). 10
C). 15
D). 20


         Demikian artikel tentang Soal Review Materi Olimpiade Matematika ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Labels:
Subscribe to: Posts (Atom)