Persamaan Linier Olim Matik SMP

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Persamaan Linier Olim Matik SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal
lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Persamaan Linier Olim Matik SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar
yang harus dipahami oleh Pembaca.

A. Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

       Persamaan linier satu variabel berbentuk $ax+b=0$,
dengan $a,b \in R$ dan $a \neq 0$.

Keterangan:
       $x$ disebut variabel
       $a$ disebut koefisien dari $x$
       $b$ disebut konstanta

B. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

       Persamaan linier dua variabel berbentuk $ax+by+c=0$,
dengan $a,b,c \in R$ dan $a\neq 0, b\neq 0$.

Keterangan:
       $x, y$ disebut variabel
       $a$ disebut koefisien dari x
       $b$ disebut koefisien dari y
       $c$ disebut konstanta

C. Penyelesaian persamaan linier

       Penyelesaian persamaan adalah nilai variabel
yang memenuhi persamaan tersebut.

       Untuk menentukan penyelesaian persamaan, kita
menggunakan sifat-sifat berikut:

a). penambahan atau pengurangan bilangan kedua ruas persamaan tidak mengubah penyelesaian
persamaan itu.

b). perkalian bilangan tidak nol pada kedua ruas persamaan tidak akan mengubah
penyelesaian persamaan tersebut.

       Khusus untuk PLDV, penyelesaian dalam himpunan
bilangan bulat maka biasa dikenal dengan persamaan Diophantine.

Contoh 1:
Selesaikan persamaan linier berikut!
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} – 2 = 1 $
c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] – \frac{1}{2} = x $

Contoh 2:
Diketahui $a, b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta positif.
Tentukan solusi dari persamaan linier berikut!
$ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} = 3 $

Contoh 3:
Berapakah nilai $a$ dan $b$ yang menyebabkan persamaan linier berikut tidak memiliki
penyelesaian!
$ ax + b – \frac{5x+2ab}{5} = \frac{1}{4} $

Contoh 4:
Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar persamaan berikut
$a(2x+3)+3bx=12x+5 $
Mempunyai penyelesaian $x$ sebanyak tak hingga!

Contoh 5:
Tentukan bilangan bulat $k$ agar persamaan linier
$11x-2=kx+15$
Mempunyai solusi bilangan asli untuk $x$, dan tentukan solusi tersebut!

Contoh 6:
Terdapat persamaan $ax+4=3x-b$ memiliki lebih dari satu solusi untuk variabel $x$.
Tentukan nilai dari $(4a+3b)^{2025}$?

Contoh 7:
Solusi dari persamaan $3a-x=\frac{x}{2}+3 $ adalah 4.
Tentukan nilai dari $(-a)^2-2a$?

Contoh 8:
Wahyu mempunyai satu bundle tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual
10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa dan pada hari
ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket, maka banyak tiket dalam
satu bundel adalah … ?

Catatan Penting

       Dari contoh soal di atas, dapat kita Tarik
keksimpulan:

Bentuk $px=q$ memiliki tiga kemungkinan solusi yaitu:
1). Memiliki solusi tunggal jika $p \neq 0 $
2). Memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $
3). Tidak memiliki solusi jika $p=0 $ dan $q \neq 0$

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Selesaikan persamaan linier berikut!
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} – 2 = 1 $
c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] – \frac{1}{2} = x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa bentuk kesamaan:
$ \frac{a}{b}x = c \rightarrow ax = bc $
$ a + b = c \rightarrow a = c – b $
$ a – b = c \rightarrow a = c + b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan masing-masing:
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
$ \begin{align}
\frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} & = 1 \\
\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 & = 10 \times 1 \\
\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] & = 10 – 8 \\
\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] & = 2 \\
\frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 & = 9 \times 2 \\
\frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 & = 18 – 16 \\
\frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) & = 2 \\
\frac{x+2}{3} + 8 & = 5 \times 2 \\
\frac{x+2}{3} & = 10 – 8 \\
\frac{x+2}{3} & = 2 \\
x + 2 & = 3 \times 2 \\
x & = 6 – 2 \\
x & = 4
\end{align} $
Sehingga solusinya $ x = 4 $.

b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} – 2 = 1 $
$ \begin{align}
\frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} – 2 & = 1 \\
\frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} & = 1 + 2 \\
\frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 \right\} & = 3 \\
\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] – 1 & = 5 \times 3 \\
\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] & = 15 + 1 \\
\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 \right] & = 16 \\
\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) – 2 & = 4 \times 16 \\
\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) & = 64 + 2 \\
\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x – 3 \right) & = 66 \\
\frac{1}{2} x – 3 & = 3 \times 66 \\
\frac{1}{2} x & = 198 + 3 \\
\frac{1}{2} x & = 201 \\
x & = 2 \times 201 \\
x & = 402
\end{align} $
Sehingga solusinya $ x = 402 $.

c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] – \frac{1}{2} = x $
$ \begin{align}
\frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] – \frac{1}{2} & = x \\
\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + \frac{3}{5} \times 5 – \frac{1}{2} & = x \\
\left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 3 – \frac{1}{2} & = x \\
\frac{1}{4}x + 1 + 3 – \frac{1}{2} & = x \\
\frac{1}{4}x + \frac{7}{2} & = x \\
\frac{7}{2} & = x – \frac{1}{4}x \\
\frac{7}{2} & = \frac{3}{4}x \\
x & = \frac{7}{2} \times \frac{4}{3} \\
x & = \frac{14}{3}
\end{align} $
Sehingga solusinya $ x = \frac{14}{3} $.

Jadi, solusinya seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Diketahui $a, b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta positif.
Tentukan solusi dari persamaan linier berikut!
$ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} = 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ A.B = 0 \rightarrow A = 0 \text{ atau } B = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ x $:
$ \begin{align}
\frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} & = 3 \\
\frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} & = 1 + 1 + 1 \\
\frac{x-a-b}{c} – 1 + \frac{x-b-c}{a} – 1 + \frac{x-c-a}{b} – 1 & = 0 \\
\frac{x-a-b}{c} – \frac{c}{c} + \frac{x-b-c}{a} – \frac{a}{a} + \frac{x-c-a}{b} – \frac{b}{b} & = 0 \\
\frac{x-a-b – c}{c} + \frac{x-a-b-c}{a} + \frac{x-a-b-c}{b} & = 0 \\
(x-a-b-c) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) & = 0 \\
(x-a-b-c) = 0 \vee \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) & = 0
\end{align} $
Karena $ a, b, c $ positif, maka $ \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) >0 $
Sehingga hanya $ (x – a – b – c) = 0 \rightarrow x = a + b + c $

Jadi, solusinya $ x = a + b + c . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Berapakah nilai $a$ dan $b$ yang menyebabkan persamaan linier berikut tidak
memiliki penyelesaian!
$ ax + b – \frac{5x+2ab}{5} = \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ tidak memiliki solusi jika $p=0 $ dan $q \neq 0$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan menjadi $ px = q $ :
$ \begin{align}
ax + b – \frac{5x+2ab}{5} & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kali 20)} \\
20ax + 20b – 20 \times \frac{5x+2ab}{5} & = 20 \times \frac{1}{4} \\
20ax + 20b – 4(5x + 2ab) & = 5 \\
20ax + 20b – 20x – 8ab & = 5 \\
20ax – 20x & = 5 – 20b + 8ab \\
20(a-1)x & = 5 – 20b + 8ab \\
px & = q
\end{align} $

artinya $ p = 20(a-1) $ dan $ q = 5 – 20b + 8ab $

Syarat tidak memiliki solusi:
$ p = 0 \rightarrow 20 (a-1) = 0 \rightarrow a = 1 $
$ q \neq 0 \rightarrow 5 – 20b + 8ab \neq 0 \rightarrow 5 – 20b + 8(1)b \neq 0 $
$ \rightarrow 5 – 12b \neq 0
\rightarrow 12b \neq 5 \rightarrow b \neq \frac{5}{12} $

Jadi, nilai $ a = 1 $ dan $ b \neq \frac{5}{12} . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar persamaan berikut
$a(2x+3)+3bx=12x+5 $
Mempunyai penyelesaian $x$ sebanyak tak hingga!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah menjadi $ px = q $
$ \begin{align}
a(2x+3)+3bx & =12x+5 \\
2ax + 3a + 3bx & = 12x + 5 \\
2ax + 3bx – 12x & = 5 – 3a \\
(2a+3b-12)x & = 5 – 3a \\
px & = q
\end{align} $

artinya $ p = 2a + 3b – 12 $ dan $ q = 5 – 3a $

Syarat memiliki solusi sebanyak tak hingga:
$ q = 0 \rightarrow 5 – 3a = 0 \rightarrow a = \frac{5}{3} $
$ p = 0 \rightarrow 2a + 3b – 12 = 0 \rightarrow 2 \times \frac{5}{3} + 3b – 12 = 0 $
$ \rightarrow 3b = 12 – \frac{10}{3} \rightarrow 3b = \frac{26}{3}
\rightarrow b = \frac{26}{9} $

Jadi, nilai $ a = \frac{5}{3} $ dan $ b = \frac{26}{9} . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Tentukan bilangan bulat $k$ agar persamaan linier
$11x-2=kx+15$
Mempunyai solusi bilangan asli untuk $x$, dan tentukan solusi tersebut!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ \frac{a}{b} $ hasilnya bilangan asli jika $ b $ adalah faktor
positif dari $ a $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya:
$ \begin{align}
11x-2 & = kx+15 \\
11x – kx & = 15 + 2 \\
(11-k)x & = 17 \\
x & = \frac{17}{11-k}
\end{align} $

*). Agar $ x $ bilangan asli maka $ 11-k $ adalah faktor positif dari 17 yaitu $\{ 1, 17\} $
$ 11 – k = 1 \rightarrow k = 16 $ dan $ x = \frac{17}{11-k} = \frac{17}{1} = 17 $
$ 11 – k = 17 \rightarrow k = -6 $ dan $ x = \frac{17}{11-k} = \frac{17}{17} = 1$

Jadi, nilai $ k = -6, \, k = 16 $ dan $ x = 1 , \, x = 17 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Terdapat persamaan $ax+4=3x-b$ memiliki lebih dari satu solusi untuk variabel $x$.
Tentukan nilai dari $(4a+3b)^{2025}$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah kesamaannya menjadi $ px = q $
$ \begin{align}
ax+4 & = 3x-b \\
ax – 3x & = -b – 4 \\
(a-3)x & = -b – 4 \\
px & = q
\end{align} $

artinya $ p = a – 3 $ dan $ q = -b – 4 $

Syarat memiliki banyak solusi:
$ p = 0 \rightarrow a – 3 = 0 \rightarrow a = 3 $
$ q = 0 \rightarrow -b – 4 = 0 \rightarrow b = -4 $

*). Menentukan hasil $ (4a+3b)^{2025} $:
$ (4a+3b)^{2025} = (4\times 3+3(-4))^{2025} = (0)^{2025} = 0 $

Jadi, nilai $ (4a+3b)^{2025} = 0 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Solusi dari persamaan $3a-x=\frac{x}{2}+3 $ adalah 4.
Tentukan nilai dari $(-a)^2-2a$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap solusi bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x = 4 $:
$ \begin{align}
3a-x & =\frac{x}{2}+3 \\
3a-4 & =\frac{4}{2}+3 \\
3a-4 & = 2 +3 \\
3a & = 5 + 4 \\
3a & = 9 \\
a & = 3
\end{align} $

Nilai $ (-a)^2-2a = (-3)^2-2\times 3 = 9 – 6 = 3 $

Jadi, nilai $ (-a)^2-2a = 3 . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Wahyu mempunyai satu bundle tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual
10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa dan pada hari
ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket, maka banyak tiket dalam
satu bundel adalah … ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa bentuk kesamaan:
$ \frac{a}{b}x = c \rightarrow ax = bc $
$ a + b = c \rightarrow a = c – b $
$ a – b = c \rightarrow a = c + b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a $ = banyak tiket satu bundel.
Menyusun persamaannya dan menentukan nilai $ a $ :
-). H1 terjual 10, sisa I = $ a – 10 $
-). H2 terjual setengahnya, sisa II $ = \frac{a-10}{2} $
-). H3 terjual 5, sisa II $ = \frac{a-10}{2} – 5 $
Sisa terakhir sama dengan 2.
$ \begin{align}
\frac{a-10}{2} – 5 & = 2 \\
\frac{a-10}{2} & = 2 + 5 \\
\frac{a-10}{2} & = 7 \\
a – 10 & = 2 \times 7 \\
a & = 14 + 10 \\
a & = 24
\end{align} $

Jadi, banyak tiket dalam satu bundel adalah $ 24 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Tentukan solusi dari persamaan linier!
$ \Large 1 – \frac{x-\frac{1+3x}{5}}{3} = \frac{x}{2} – \frac{2x-\frac{10-6x}{7}}{2} $

2). Tentukan konstanta a agar persamaan linier
$2a(x+6)=4x+1$
Tidak memiliki penyelesaian!

3). Persamaan $kx=12$ hanya memiliki penyelesaian bilangan bulat positif $x$.
Tentukan banyaknya bilangan bulat $k$ yang memenuhi!

4). Ada berapa banyak bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi persamaan berikut!
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12} $

5). Untuk $mn \neq 0$, pada saat kapan persamaan
$ \frac{x-n}{m} – \frac{x-m}{n} = \frac{m}{n} $
Mempunyai solusi dan tidak mempunyai solusi!

6). Jika $-2$ adalah solusi dari persamaan
$\frac{1}{3} mx=5x+(-2)^2 $
Maka tentukan nilai $ (m^2-11m+77)^{2029}$?

7). Tentukan semua bentuk solusi dari
$ m^2 x+1=mx+m $
Untuk sembarang konstanta $m$!

8). Terdapat bilangan konstanta positif $k$ dan persamaan $k^2 x-k^2=2kx-5k$ memiliki
solusi positif untuk $x$. Tentukan interval nilai $k$ yang memenuhi!

9). Jika $a, b$, dan $c$ adalah bilangan positif dan $abc=1$, maka tentukan nilai $x$
yang memenuhi persamaan
$ \frac{2ax}{ab+a+1} + \frac{2bx}{bc+b+1} + \frac{2cx}{ca+c+1} = 1 $

10). Terdapat persamaan $ \frac{8}{3}x – m = \frac{9}{4}x + 123 $ yang memiliki solusi
bilangan bulat positif dan $m$ juga bilangan bulat positif.
Tentukan nilai minimum $m$?

11). Budi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan
sekolah. Pada hari minggu dia menghabiskan $\frac{1}{2}$ dari uang yang dimilikinya.
Pada hari senin, dai menghabiskan uangnya Rp4.000,00 lebih sedikit dari uang yang
dibenjakan hari minggu. Sementara uang yang dibelanjakan pada hari selasa
hanya $\frac{1}{3}$ dari belanja hari senin. Sekarang dia masih memiliki uang sisa
belanja sebesar Rp1.000,00. Tentukan uang Budi mula-mula?

12). Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah $\frac{2}{3}$ kali umur ayah pada $c$ tahun yang
akan datang, ($c$ adalah bilangan bulat positif). Sekarang umur ayah adalah 27 tahun
lebihnya dari $\frac{1}{5}$ umurnya pada 7 tahun lalu. Tentukan nilai $c$!

13). Tentukan bilangan bulat terbesar $\overline{xyz} $ yang memenuhi
$14x+49y+2z=263$

14). Terdapat tiga bilangan genap berurutan $a,b,c$ yang membuat
$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ menjadi sebuah
bilangan bulat. Berapakah bilangan bulat itu?

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Persamaan Linier Olim Matik SMP.
(masih dalam proses pengetikan)

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Soal Review 1.2 Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD

Nama Peserta :

Nomor 1.

Perhatikan bentuk bilangan $\overline{abc.efg} $
Berikut adalah nilai tempat yang benar berdasarkan nilai tempat bilangan, KECUALI …?
A). $ a $ : ratusan ribu, nilainya $ a00.000 $
B). $ b $ : puluhan juta, nilainya $b00.000$
C). $ c $ : ribuan, nilainya $ c.000 $
D). $ g $ : satuan, nilainya $ g $

Jawaban No. 1 :
~ abcd

Nomor 2.

Nama dari bilangan $2.035 $ adalah …?
A). dua ribu tiga lima
B). dua ribu nol ratus tiga lima
C). dua ribu tiga puluh lima
D). dua ribu nol ratus tiga puluh lima

Jawaban No. 2 :
~ abcd

Nomor 3.

Pada bilangan $123.456$, digit puluhan ribuannya adalah …?
A). 5
B). 4
C). 3
D). 2

Jawaban No. 3 :
~ abcd

Nomor 4.

Pada bilangan $ 123.456 $, nilai tempat ribuannya adalah …?
A). 3.000
B). 1.000
C). 300
D). 3

Jawaban No. 4 :
~ abcd

Nomor 5.

Perhatikan penjabaran berikut:
(i). $ \overline{ab} = 10a + b $
(ii). $ \overline{abc}=100a + 10b + c $
(iii). $ \overline{abcd} = 1000a + 100b + 10d + c $

Pernyataan yang benar adalah …?
A). (i) dan (ii)
B). (i) dan (iii)
C). (ii) dan (iii)
D). Semua Benar

Jawaban No. 5 :
~ abcd

Nomor 6.

Penjabaran bilangan $ 2.678 $ adalah …?
A). $ 2000 + 600 + 700 + 8 $
B). $ 2000 + 6000 + 70 + 8 $
C). $ 2000 + 600 + 70 + 8 $
D). $ 2000 + 600 + 70 + 80 $

Jawaban No. 6 :
~ abcd

Nomor 7.

Perhatikan bilangan $210.358$,

nilai tempat ribuan …… nilai tempat puluhan

Hubungan yang tepat mengisi titik-titik di atas adalah …?
A). lebih besar
B). lebih kecil
C). sama dengan
D). salah semua.

Jawaban No. 7 :
~ abcd

Nomor 8.

Agar bilangan $ 234.567 $ lebih besar dari bilangan $ 234.56a $, ada berapa banyak nilai
$ a $ yang memenuhi?
A). 4
B). 5
C). 6
D). 7

Jawaban No. 8 :
~ abcd

Nomor 9.

Jika bilangan $ 123.456.7b9 $ sama dengan bilangan $ 123.456.7c9 $, maka ada berapa
banyak pasangan $ (b, c) $ yang memenuhi?
A). 10
B). 9
C). 8
D). 7

Jawaban No. 9 :
~ abcd

Nomor 10.

“Lima ratus empat ribu tiga ratus satu” jika ditulis dalam lambang bilangan
adalah …?
A). 540.301
B). 504.301
C). 504.310
D). 50.043.001

Jawaban No. 10 :
~ abcd

         Demikian artikel tentang Soal Review 1.2 Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD.
Tentuk masih ada banyak
lagi berkaitan Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD pada materi olim matik SD yang bisa Pembaca pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah
dicoba, silahkan Pembaca cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

A. Nilai Tempat Suatu Bilangan

       Perhatikan bentuk bilangan: $ abc.def.ghi$
Nilai tempat dari bilangan tersebut yaitu:
$ i $ : satuan, nilainya $ i $
$ h $ : puluhan, nilainya $ h0 $
$ g $ : ratusan, nilainya $ g00 $
$ f $ : ribuan, nilainya $ f.000 $
$ e $ : puluhan ribu, nilainya $ e0.000 $
$ d $ : ratusan ribu, nilainya $ d00.000 $
$ c $ : jutaan, nilainya $ c.000.000 $
$ b $ : puluhan juta, nilainya $ c.000.000 $
$ a $ : ratusan juta, nilainya $ a.000.000.000 $

Contoh 1:
Perhatikan bilangan: 321.564.978.
Tentukan nilai tempat bilangagn tersebut!

Contoh 2:
Tentukan nama setiap bilangan berikut:
a). 345
b). 2.467
c). 503.678

B. Penulisan Penjabaran suatu Bilangan

       Perhatikan bentuk penjabaran bilangan berikut:
$ \overline{ab} = 10a + b $
$ \overline{abc} = 100a + 10b + c $
$ \overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d $
$ \overline{abcde} = 10.000a + 1000b + 100c + 10d + e $
dan seterusnya …..

Contoh 3:
Tuliskan bentuk penjabaran dari setiap bilangan berikut:
a). 23
b). 547
c). 7.125

Contoh 4:
Tentukan jumlah digit ribuan dan puluhan dari bilangan 35.621?

Contoh 5:
Tentukan selisih nilai tempat ratusan dan satuan dari bilangan 43.569 ?

Contoh 6:
Suatu bilangan terdiri dari dua digit (dua angka). Jika urutannya dibalik,
maka diperoleh bilangan baru yang besarnya dua kali bilangan semula dikurangkan enam. Tentukan semua
bilangan tersebut?

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Perhatikan bilangan: 321.564.978.
Tentukan nilai tempat bilangagn tersebut!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penamaan sesuai nilai tempat bilangan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bilangan: 321.564.978
Nilai tempat bilangan tersebut yaitu:
8 : satuan, nilainya 8
7 : puluhan, nilainya 70
9 : ratusan, nilainya 900
4 : ribuan, nilainya 4.000
6 : puluhan ribu, nilainya 60.000
5 : ratusan ribu, nilainya 500.000
1 : jutaan, nilainya 1.000.000
2 : puluhan juta, nilainya 20.000.000
3 : ratusan juta, nilainya 300.000.000

Jadi, nilai tempatnya seperti di atas $ . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Tentukan nama setiap bilangan berikut:
a). 345
b). 2.467
c). 503.678

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penamaan sesuai bilangannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut penamaannya:
a). 345
Namanya: Tiga ratus empat puluh lima.

b). 2.467
Namanya: Dua ribu empat ratus enam puluh tujuh

c). 503.678
Namanya: Lima ratus tiga ribu enam ratus tujuh puluh delapan.

Jadi, penamaannya sesuai yang di atas $ . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Tuliskan bentuk penjabaran dari setiap bilangan berikut:
a). 23
b). 547
c). 7.125

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penjabaran sesuai nilai tempatnya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut penjabarannya:
a). $ 23 = 20 + 3 $
b). $ 547 = 500 + 40 + 7 $
c). $7.125 = 7000 + 100 + 20 + 5 $

Jadi, penjabarannya seperti di atas $ . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan jumlah digit ribuan dan puluhan dari bilangan 35.621?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Digit sesuai nilai tempatnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan digitnya:
Bilangan 35.621
Digit ribuannya = 5
Digit puluhannya = 2
*). Menentukan jumlahnya:
Jumlah $ = 5 + 2 = 7 $

Jadi, jumlahnya adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Tentukan selisih nilai tempat ratusan dan satuan dari bilangan 43.569 ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bilangan berdasarkan nilai tempatnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai tempatnya
Bilangan 43.569
Nilai tempat ratusan $ = 500 $
Nilai tempat satuan $ = 9 $
*). Menentukan selisinya:
Selisih $ = 500 – 9 = 491 $

Jadi, selisihnya $ 491 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Suatu bilangan terdiri dari dua digit (dua angka). Jika urutannya dibalik,
maka diperoleh bilangan baru yang besarnya dua kali bilangan semula dikurangkan enam.
Tentukan semua
bilangan tersebut?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penjabaran sesuai nilai tempatnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan:
Misalkan bilangannya $ \overline{ab} $ .
Urutannya dibalik, menjadi $ \overline{ba} $
Diperoleh hubungan:
$ \begin{align}
\overline{ba} & = 2 \times \overline{ab} – 6 \\
10b + a & = 2 \times (10a + b) – 6 \\
10b + a & = 20a + 2b – 6 \\
10b – 2b & = 20a – a – 6 \\
8b & = 19a – 6 \\
b & = \frac{19a – 6}{8}
\end{align} $

*). Menentukan bilangannya:
$ a = 1 \rightarrow b = \frac{19 \times 1 – 6}{8} = \frac{13}{8} $ (tidak bulat)
$ a = 2 \rightarrow b = \frac{19 \times 2 – 6}{8} = \frac{32}{8} = 4 $ (memenuhi)
$ a = 3 \rightarrow b = \frac{19 \times 3 – 6}{8} = \frac{51}{8} $ (tidak bulat)
$ a = 4 \rightarrow b = \frac{19 \times 4 – 6}{8} = \frac{70}{8} $ (tidak bulat)
$ a = 5 \rightarrow b = \frac{19 \times 5 – 6}{8} = \frac{89}{8} $ (tidak bulat)
Untuk $ a > 5 $, nilai $ b $ sudah tidak 1 digit lagi, sehingga tidak memenuhi.

Jadi, bilangannya adalah $ 24 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD
untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Angka puluhan dari hasil $ 25^2 + 3^3 + 2 $ adalah …? (HIMSO)
A). 3
B). 4
C). 5
D). 6

2). Berapa banyak bilangan dari 200 sampai 300 yang memuat angka 7? (JMSC)
A). 18
B). 19
C). 20
D). 21

3). Nama bilangan dari
$(4 \times 10^5) + (8 \times 10^4) + (3 \times 10^3 ) + (7 \times 10) + 5 $
adalah …? (HIMSO)
A). empat ratus delapan puluh tiga ratus tujuh puluh lima
B). empat ratus tiga puluh delapan ribu tujuh lima
C). empat ratus delapan puluh tiga ribu tujuh puluh lima
D). empat ratus delapan puluh tiga ribu tujuh lima

4). Hasan mendapat tugas dari gurunya untuk menulis bilangan dari 1 sampai 126.
Berapa banyak angka yang ditulis Hasan dari 1 sampai 126? (JMSC)
A). 269
B). 270
C). 271
D). 272

5). Berapa selisih dari lima digit bilangan terkecil dengan empat digit bilangan
terbesar? (d’MOP)
A). 1
B). 10
C). 1111
D). 9000

6). Andi mengalikan angka-angka penyusun dari bilangan 136, hasilnya 18.
Tentukan banyaknya bilangan positif tiga angka lainya yang hasil perkalian angka-angka
penyusunnya adalah 18. (JMSC)
A). 14
B). 15
C). 16
D). 17

7). Seorang tukang sablon bernama Pak Romi akan membuat nomor dada pada 100 kaos mulai
dari nomor 21 sampai dengan nomor 120. Berapa banyak kaos bernomor genap yang ia buat
jika angka terakhir dari nomor tersebut tidak lebih besar atau sama dengan dari angka
yang lain? (OMITS)
A). 18
B). 20
C). 25
D). 30

8). Mark, Jay, Jackson, dan Bobby sedang bermain tebak bilangan. Jay memilih suatu
bilangan tiga digit di dalam hati, dan yang lain menebak bilangan tersebut.

Mark: “kupikir bilangan itu adalah 291”
Jackson: “aku menebak bilangan itu adalah 301”
Bobby: “hm, bagaimana dengan 207?”
Jay: “setiap bilangan yang kalian pilih bersesuaian dengan bilangan yang aku pilih
tepat di dua tempat”

Bilangan berapakah yang dipilih Jay? (OMITS)
A). 201
B). 297
C). 301
D). 397

9). For any positive integer $n$, let $d(n)$ be the sum of digits in $n$. For example,
$d(123)=1+2+3=6$ and $d(7879)=7+8+7+9=31$. The value of
$d(d(999888777666555444333222111))$ is …? (OMITS)
A). 10
B). 9
C). 8
D). 7

10). Bilangan primacenter adalah bilangan ratusan yang digit tengahnya adalah prima dan
jumlah digit-digitnya juga prima. Berapa banyak bilangan primacenter di antara 209
dan 902? (OMVN)

11). Suatu bilangan terdiri atas 2 angka, angka satunya lebih besar 2 dari angka
puluhannya. Jika tempat kedua angka ditukar, maka bilangan itu menjadi $1 \frac{3}{4} $
kali bilangan semula. Jumlah angka-angka bilangan itu adalah …? (OMITS)
A). 14
B). 10
C). 8
D). 6

12). Bilangan ABC dan CBA merupakan bilangan yang terdiri dari tiga digit.
Maka bilangan prima terbesar yang habis membagi selisih bilangan ABC dan CBA
adalah …? (OMVN)
A). 3
B). 5
C). 7
D). 11

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD.
(Masih dalam penyusunan).

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SD

       Demikian pembahasan materi Nilai Tempat Suatu Bilangan Olim SD dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal
lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar
yang harus dipahami oleh Pembaca.

A. Definsi Suku Tunggal dan Suku Banyak

Suku Tunggal
       Suku Tunggal merupakan bentuk aljabar yang hanya
terdiri dari satu suku saja (hasil perkalian bilangan dan huruf).

Suku Banyak
       Suku Banyak merupakan penjumlahan dari
beberapa suku tunggal. Misalkan terdapat bilangan real $x$ dan bilangan cacah $n$, suku
banyak dengan variabel $x$ berderajat $n$ berbentuk:
       $a_n x^n+a_{(n-1)} x^{(n-1)}+…+a_1 x+a_0$
dengan $a_n \neq 0$

Berikut beberapa contoh suku banyak yaitu:
a). $x^3-2x+5 $
b). $6x^9+7x^3+5x^2-20 $
c). $ 2y^{2025}-5y^8+3y^2 $

B. Suku-suku, Variabel, Koefisien, Konstanta, Derajat

       Pada bentuk aljabar, kita akan mengenal beberapa
istilah yaitu:

(1). Suku-suku yaitu pengelompokkan yang dipisah
oleh operasi penjumlahan.

(2). Variabel adalah huruf yang digunakan untuk
mewakili suatu bentuk dan bisa diganti dengan
angka tertentu.

(3). Koefisien yaitu bilangan yang menyertai atau
bilangan yang ada di depan huruf/abjadnya.

(4). Konstanta yaitu suku yang tidak memuat
huruf/abjad.

(5). Derajat adalah pangkat tertingginya.

Misalkan terdapat suku banyak $ 2x^3 + 5x^2 – 3x + 8 $
Suku-sukunya: $ 2x^3 $, $ 5x^2 $, $ -3x $, dan $ 8 $.
Variabelnya: $ x $
Koefisien:
       Koefisien dari $ x ^3 $ adalah 2
       Koefisien dari $ x ^2 $ adalah 5
       Koefisien dari $ x $ adalah $ – 3 $
Konstantanya adalah 8.
Derajatnya adalah 3.

C. Operasi Aljabar pada Suku Banyak

       Ada beberapa operasi aljabar yaitu penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Untuk pembagian pada suku banyak akan dibahas
secara khusus pada materi lain.

(i). Penjumlahan
       Penjumlahan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku
yang sejenis dengan menambahkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya
ditulis ulang. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki huruf/abjad yang sama
(jika ada pangkat maka pangkatnya juga harus sama).

(ii). Pengurangan
       Pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku
yang sejenis dengan mengurangkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya
ditulis ulang dengan memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

(iii). Perkalian
       Perkalian bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan
setiap suku-sukunya, angka kalikan dengan angka dan abjad dengan abjad. Ingat juga
perkalian tanda.
$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $
$ a \times (b – c) = a \times b – a \times c $
$(a+b) \times (c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d $
$(a-b) \times (c+d) = a \times c + a \times d – b \times c – b \times d $
$(a-b) \times (c-d) = a \times c – a \times d – b \times c + b \times d $
$ (a+b) \times (a-b) = a^2 – b^2 $
$ x^m \times x^n = x^{m+n} $

Berikut beberapa contoh sederhana:
a). $2x+3x=5x$
b). $5y-2y=3y$
c). $4x+2ab-x+5ab+3=3x+7ab+3$
d). $3(2x-5y)=6x-15y$
e). $2a(5a+3b-7)=10a^2+6ab-14a$
f). $(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6$

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
$ 3a + \{-4b – [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} $

Contoh 2:
Hitunglah $ -9x^{n-2} – 8x^{n-1} – (-9x^{n-2}) – 8(x^{n-2} – 2x^{n-1}) $ ,
dimana $ x = 9 $ dan $ n = 3 $.

Contoh 3:
Misalkan terdapat suku banyak $ P $ dan $ Q $ yaitu
$ P = x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy – bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 $
$ Q = x^3 + y^2 $.
Jika $ P = Q $, maka tentukan nilai $ a, b, c, $ dan $ d $.

Contoh 4:
Terdapat persamaan $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ dan $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan
$ 3a^2 b^3 $. Tentukan nilai dari $ x, m $ , dan $ y $.

Contoh 5:
Diketahui $ P(x) = nx^{n+4} + 3x^{4-n} – 2x^3 + 4x – 5 $ dan
$ Q(x) = 3x^{n+4} – x^4 + x^3 + 2nx^2 + x – 2 $ yang merupakan dua bentuk suku banyak.
Tentukan nilai $ n $ sehingga $ P – Q $ adalah suku banyak berderajat 5 dan
memiliki 6 suku.

Contoh 6:
Misalkan $ x^2 – x – 1 = 0 $, sederhanakan bentuk $\Large \frac{x^3+x+1}{x^5} $
menjadi sebuah bentuk suku banyak.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
$ 3a + \{-4b – [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku yang sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan:
$ \begin{align}
& 3a + \{-4b – [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} \\
& = 3a + \{-4b – [4a-7b+4a+b]+5a\} \\
& = 3a + \{-4b – [8a-6b]+5a\} \\
& = 3a + \{-4b – 8a+6b+5a\} \\
& = 3a + \{2b – 3a\} \\
& = 3a + 2b – 3a \\
& = 2b
\end{align} $

Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 2b . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Hitunglah $ -9x^{n-2} – 8x^{n-1} – (-9x^{n-2}) – 8(x^{n-2} – 2x^{n-1}) $ ,
dimana $ x = 9 $ dan $ n = 3 $.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan:
$ \begin{align}
& -9x^{n-2} – 8x^{n-1} – (-9x^{n-2}) – 8(x^{n-2} – 2x^{n-1}) \\
& = -9x^{n-2} – 8x^{n-1} +9x^{n-2} – 8x^{n-2} + 16x^{n-1} \\
& = 8x^{n-1} – 8x^{n-2} \\
& = 8(x^{n-1} – x^{n-2} )
\end{align} $

*). Substitusi $ x = 9 $ dan $ n = 3 $:
$ \begin{align}
& 8(x^{n-1} – x^{n-2} ) \\
& = 8(9^{3-1} – 9^{3-2} ) \\
& = 8(9^2 – 9^1 ) \\
& = 8(81 – 9 ) \\
& = 8 \times 72 \\
& = 576
\end{align} $

Jadi, hasilnya $ 576 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Misalkan terdapat suku banyak $ P $ dan $ Q $ yaitu
$ P = x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy – bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 $
$ Q = x^3 + y^2 $.
Jika $ P = Q $, maka tentukan nilai $ a, b, c, $ dan $ d $.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku yang sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk $ P = Q $ :
$ \begin{align}
P & = Q \\
x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy – bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 & = x^3 + y^2 \\
x^3 + (4x^2y – bx^cy) + (axy^2+ 7xy^2) + (3xy + dxy) + y^2 & = x^3 + y^2
\end{align} $
Agar $ P = Q $, maka terdapat beberapa suku yang harus bernilai 0.
Sehingga kita peroleh:
$ 4x^2y – bx^cy = 0 \rightarrow 4x^2y = bx^cy \rightarrow b = 4, c = 2 $
$ axy^2+ 7xy^2 = 0 \rightarrow axy^2=- 7xy^2 \rightarrow a = – 7 $
$ 3xy + dxy = 0 \rightarrow -3xy = dxy \rightarrow d = – 3 $

Atau cara lainnya:
*). Pengelompokkan suku-suku sejenis:
-). $ 4x^2y $ sejenis dengan $ -bx^cy$ dan jumlahnya 0, sehingga $ b = 4 $ dan $ c = 2 $.
-). $ axy^2 $ sejenis dengan $ 7xy^2$ dan jumlahnya 0, sehingga $ a = -7 $.
-). $ 3xy $ sejenis dengan $ dxy$ dan jumlahnya 0, sehingga $ d = -3 $.

Jadi, nilai $ a = -7, b = 4, c = 2, d = -3 . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Terdapat persamaan $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ dan $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan
$ 3a^2 b^3 $. Tentukan nilai dari $ x, m $ , dan $ y $.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ terpenuhi ketika:
$ (x-5)^2 = 0 \rightarrow x = 5 $
$ 5m^2 = 0 \rightarrow m = 0 $

*). $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan $ 3a^2 b^3 $ ,
artinya $ y + 1 = 3 \rightarrow y = 2 $.

Jadi, nilai $ x = 5, m = 0, y = 2 . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Diketahui $ P(x) = nx^{n+4} + 3x^{4-n} – 2x^3 + 4x – 5 $ dan
$ Q(x) = 3x^{n+4} – x^4 + x^3 + 2nx^2 + x – 2 $ yang merupakan dua bentuk suku banyak.
Tentukan nilai $ n $ sehingga $ P – Q $ adalah suku banyak berderajat 5 dan
memiliki 6 suku.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Urutkan pengkatnya dari yang tertinggi ke terendah

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ P – Q $
$ \begin{align}
& P(x) – Q(x) \\
& = [nx^{n+4} + 3x^{4-n} – 2x^3 + 4x – 5] – [3x^{n+4} – x^4 + x^3 + 2nx^2 + x – 2] \\
& = (n-3)x^{n+4} + 3x^{4-n} + x^4 – 3x^3 – 2nx^2 + 3x – 3
\end{align} $

*). Agar berderajat 5, maka ada dua kemungkinan:
-). $ n + 4 = 5 \rightarrow n = 1 $, sehingga
$ P – Q = -2x^5 +x^4 -2x^2 + 3x – 3 $ (5 suku)
-). $ 4-n=5 \rightarrow n = -1 $ , sehingga
$ P – Q = 3x^5 + x^4 -7x^3 + 2x^2 + 3x – 3 $ (6 suku)
Artinya yang benar saat $ n = -1 $.

Jadi, nilai $ n = -1 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Misalkan $ x^2 – x – 1 = 0 $, sederhanakan bentuk $\Large \frac{x^3+x+1}{x^5} $
menjadi sebuah bentuk suku banyak.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ x^2 – x – 1 = 0 \rightarrow x + 1 = x^2 $ dan $ x^2 – x = 1 $
*). Mengubah bentuk soal:
$ \begin{align}
\frac{x^3+x+1}{x^5} & = \frac{x^3+(x+1)}{x^5} \\
& = \frac{x^3+(x^2)}{x^5} \\
& = \frac{x^2(x + 1)}{x^2 . x^3} \\
& = \frac{x + 1}{ x^3} \\
& = \frac{x^2}{ x^2. x} \\
& = \frac{1}{ x} \\
& = \frac{x^2 – x}{ x} \\
& = \frac{x^2}{ x} – \frac{ x}{ x} \\
& = x – 1
\end{align} $

Jadi, bentuk $ \frac{x^3+x+1}{x^5} = x – 1 . \, \heartsuit $

1). Bentuk berikut ini, manakah yang bukan suku tunggal?
A). $ \frac{x}{5} $
B). $ -0,5 \left( 1 + \frac{1}{x} \right) $
C). $ \frac{3}{x^2} $

2). Diketahui dua suku sejenis yaitu $ 0,75x^by^c $ dan $ -0,5 x^{m-1} y^{2n-1} $,
serta jumlah keduanya $ 1,25 ax^ny^m $, tentukan nilai $ abc$?

3). Tentukan bilangan asli $ n $ sehingga $ 2^8 + 2^{10} + 2^n $ adalah bilangan kuadrat.

4). Diketahui $ 3x^2 + x = 1 $. tentukan nilai dari $ 6x^3 – x^2 – 3x + 2010 $ ?

5). Jika $ x = \frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b} $, maka nilai $ x = …$?

6). Jika $ \frac{1}{x} – \frac{1}{y} = 4 $, maka nilai
$ \frac{2x+4xy-2y}{x-y-2xy} = …$?

7). Sembilan persegi disusun membentuk persegi panjang seperti gambar di bawah.
Persegi terkecil memiliki panjang sisi 1 cm. tentukan panjang sisi-sisi persegi
lainnya?

8). Misalkan $ P(x) = ax^7 + bx^3 + cx – 5 $, dimana $ a, b$, dan $ c $ bernilai
konstan. Diketahui $ P(-7) = 7 $, tentukan nilai $ P(7)$?

9). Jika $ a, b, c $ bilangan bulat yang memenuhi $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}
+ \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} $, buktikan bahwa diantara $ a, b, c $ ada dua bilangan yang
berlawanan tanda.

10). Jika $ xy = a$ , $ xz = b $, $ yz = c $, dan $ abc \neq 0 $, tentukan bentuk
$ x^2 + y^2 + z^2 $ dalam bentuk $ a, b, c $.

11). Diketahui $ a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0 $. Tentukan nilai dari
$ a^{2000} + a^{2010} + 1 $

12). Jika $ (x^2 – x – 1)^n = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n – 1} + … + a_2x^2 + a_1x + a_0 $,
tentukan nilai dari $ a_0 + a_2 + a_4 + … + a_{2n} $

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP.

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP dan contoh-contohnya.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari
isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki
kualitas dari artikel di Blog Andelina. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Soal Latihan Timer A 1.1 Jenis Bilangan

         Blog Andelina – Hai, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel
kali ini berisi tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Jenis Bilangan. Tujuan dari Soal Latihan Timer ini adalah agar Pembaca bisa mengulang-ulang
melatih dan mengerjakan soal-soal yang sudah dipelajari sampai lancar, sehingga jika ada bentuk soal yang serupa atau dengan logika yang sama
maka Pembaca akan dapat dengan mudah untuk mengerjakannya. Soal Latihan Timer ini bisa dikerjakan berkali-kali, jadi silahkan
luangkan waktunya. OK. Semangat Berlatih Pembaca. Semoga bermanfaat.

Total Waktu : 30 menit

Nama Peserta :

Nomor 1.

Tiga bilangan bulat dikalikan menghasilkan suatu bilangan genap positif. Berikut ini yang mungkin menjadi ciri-ciri tiga bilangan tersebut adalah …
A. Genap positif, ganjil negatif, genap positif.
B. Genap negatif, ganjil positif, genap negatif.
C. Ganjil positif, ganjil positif, genap negatif.
D. Ganjil positif, ganjil positif, ganjil positif.

Jawaban No. 1 :
~ abcd

Nomor 2.

Hasil kali suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 200. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah …
A). 21
B). 23
C). 25
D). 35

Jawaban No. 2 :
~ abcd

Nomor 3.

How many primes less then 50?
A). 15
B). 16
C). 17
D). 25

Jawaban No. 3 :
~ abcd

Nomor 4.

Berapa banyak bilangan prima antara 3 dan 30?
A). 4
B). 6
C). 7
D). 8

Jawaban No. 4 :
~ abcd

Nomor 5.

Jumlah semua bilangan komposit antara 20 sampai dengan 32 sama dengan …
A). 203
B). 204
C). 235
D). 255

Jawaban No. 5 :
~ abcd

Nomor 6.

Jika
A = banyaknya bilangan ganjil dari 1 sampai 40
dan
B = banyaknya bilangan prima dari 1 sampai 40,
maka nilai $ A – B $ = …
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

Jawaban No. 6 :
~ abcd

Nomor 7.

Jumlah dua bilangan prima adalah 2029. Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….
A). 4027
B). 4029
C). 4045
D). 4054

Jawaban No. 7 :
~ abcd

Nomor 8.

Banyaknya bilangan prima 2 angka kurang dari 50 yang hasil jumlah puluhan dan satuannya juga merupakan bilangan prima adalah …
A). 4
B). 5
C). 6
D). 7

Jawaban No. 8 :
~ abcd

Nomor 9.

Bilangan prima dua digit yang hasil penjumlahan kedua digitnya kurang dari 5 ada sebanyak ….
A). 3
B). 4
C). 5
D). 6

Jawaban No. 9 :
~ abcd

Nomor 10.

Angka 14 dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari 5 angka genap. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyusun 14 menjadi penjumlahan 5
angka genap?
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4

Jawaban No. 10 :
~ abcd

         Demikian artikel tentang Soal Latihan Timer A 1.1 Jenis Bilangan ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Soal Review Materi 1.1 Jenis Bilangan

Nama Peserta :

Nomor 1.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan asli adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { 1, 2, 3, 4, …} $
C). $ { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} $
D). $ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} $

Jawaban No. 1 :
~ abcd

Nomor 2.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan Cacah adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { 1, 2, 3, 4, …} $
C). $ { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} $
D). $ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} $

Jawaban No. 2 :
~ abcd

Nomor 3.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan non positif adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { …, -1, 0, 1, 2} $
C). $ {…, -3, -2, -1, 0} $
D). $ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} $

Jawaban No. 3 :
~ abcd

Nomor 4.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan negatif adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { …, -1, 0, 1, 2} $
C). $ {…, -3, -2, -1, 0} $
D). $ {…,-4, -3, -2, -1} $

Jawaban No. 4 :
~ abcd

Nomor 5.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan bulat terlengkap adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { …, -1, 0, 1, 2} $
C). $ {…, -3, -2, -1, 0} $
D). $ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} $

Jawaban No. 5 :
~ abcd

Nomor 6.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan ganjil adalah …
A). $ { 0, 1, 2, 3, …} $
B). $ { 1, 3, 5, 7, 9, …} $
C). $ {2, 4, 6, 8, …} $
D). $ {1, 3, 5, 6, 7, …} $

Jawaban No. 6 :
~ abcd

Nomor 7.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan genap adalah …
A). $ { 2, 4, 6, 8, …} $
B). $ { 1, 3, 5, 7, 9, …} $
C). $ {…, -3, -2, -1, 0} $
D). $ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} $

Jawaban No. 7 :
~ abcd

Nomor 8.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan prima adalah …
A). $ { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13} $
B). $ { 2, 3, 5, 7, 11, 13} $
C). $ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 15} $
D). $ {19, 21, 23, 29, 31} $

Jawaban No. 8 :
~ abcd

Nomor 9.

Berikut yang merupakan himpunan bilangan komposit adalah …
A). $ { 2, 4, 6, 8, …} $
B). $ {3, 5, 7, 9, 12} $
C). $ {4, 5, 6, 7, 8, 9} $
D). $ {4, 6, 8, 9, 10} $

Jawaban No. 9 :
~ abcd

Nomor 10.

Pernyataan yang benar adalah …?
A). genap + genap = ganjil
B). genap – ganjil = ganjil
C). ganjil $ \times $ genap = ganjil
D). Genap $ : $ ganjil = ganjil

Jawaban No. 10 :
~ abcd

         Demikian artikel tentang Soal Review Materi 1.1 Jenis Bilangan ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Soal Review Materi 1.8 Persamaan Diophantine

Nama Peserta :

Nomor 1.

Persamaan $ ax + by = c $ disebut persamaan diophantine jika solusi $ (x, y) $ nya
bilangan ….?
A). prima saja
B). bulat
C). negatif saja
D). riil

Jawaban No. 1 :
~ abcd

Nomor 2.

Persamaan Diophantine $ ax + by = c $ memiliki solusi/penyelesaian jika …
A). FPB$(a, b) $ habis membagi $ c $
B). FPB$(a, b) $ tidak habis membagi $ c $
C). FPB$(a, b) $ bilangan prima saja
D). FPB$(a, b) $ bilangan ganjil saja

Jawaban No. 2 :
~ abcd

Nomor 3.

persamaan berikut yang merupakan persamaan diophantine adalah …?
A). $ 2x – 8y = 35 $
B). $ 6x + 15y = 28 $
C). $ 10x – 15y = 55 $
D). $ 8x + 6y = 9 $

Jawaban No. 3 :
~ abcd

Nomor 4.

Persamaan berikut memiliki solusi bulat, KECUALI …?
A). $ 2x + 5y = 7 $
B). $ 3x – 2y = 6 $
C). $ 4x + 6y = 24 $
D). $ 6x – 15y = 16 $

Jawaban No. 4 :
~ abcd

Nomor 5.

Persamaan Diophantine $ ax + by = c $ dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep modulo
yaitu dengan menyelesaikan ….?
A). $ ax \equiv c \, (mod \, b) $
B). $ ax \equiv -c \, (mod \, b) $
C). $ ay \not \equiv c \, (mod \, b) $
C). $ ay \not \equiv -c \, (mod \, b) $

Jawaban No. 5 :
~ abcd

Nomor 6.

Persamaan Diophantine $ ax + by = c $ dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep modulo
yaitu dengan menyelesaikan ….?
A). $ bx \equiv c \, (mod \, a) $
B). $ bx \equiv -c \, (mod \, a) $
C). $ by \not \equiv c \, (mod \, a) $
C). $ by \not \equiv -c \, (mod \, a) $

Jawaban No. 6 :
~ abcd

Nomor 7.

Misalkan $ d = FPB (a, b) $ dan $ x_0, y_0 $ merupakan penyelesaian awal (solusi khusus)
dari persamaan diophantine $ ax + by = c $. Solusi umum dari persamaan diophantine
tersebut untuk $ x $ adalah ….?
A). $ x = x_0 + \left( \frac{a}{b} \right) k $
B). $ x = x_0 + \left( \frac{a}{d} \right) k $
C). $ x = x_0 + \left( \frac{b}{d} \right) k $
D). $ x = x_0 + \left( \frac{d}{a} \right) k $
dimana $ k $ merupakan bilangan bulat.

Jawaban No. 7 :
~ abcd

Nomor 8.

Misalkan $ d = FPB (a, b) $ dan $ x_0, y_0 $ merupakan penyelesaian awal (solusi khusus)
dari persamaan diophantine $ ax + by = c $. Solusi umum dari persamaan diophantine
tersebut untuk $ y $ adalah ….?
A). $ y = y_0 – \left( \frac{b}{d} \right) k $
B). $ y = y_0 – \left( \frac{b}{a} \right) k $
C). $ y = y_0 – \left( \frac{a}{b} \right) k $
D). $ y = y_0 – \left( \frac{a}{d} \right) k $
dimana $ k $ merupakan bilangan bulat.

Jawaban No. 8 :
~ abcd

         Demikian artikel tentang Soal Review Materi 1.8 Persamaan Diophantine ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.

Soal Review Materi 1.9 Eksponen dan Bentuk Akar

Nama Peserta :

Nomor 1.

Sifat $ a^m . a^n = … $?
A). $ a^m + a^n $
B). $ a^{m+n} $
C). $ a^{m-n} $
D). $ a^m – a^n $

Jawaban No. 1 :
~ abcd

Nomor 2.

Sifat eksponen benrikut benar, KECUALI …
A). $ \frac{a^m}{a^n} = a^ {m – n} $
B). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
C). $ (a.b) ^n = a^n + b^n $
D). $ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $

Jawaban No. 2 :
~ abcd

Nomor 3.

Sifat-sifat berikut benar, KECUALI …?
A). $ a^{-n} = \frac{1}{a^{-n}} $
B). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
C). $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} $
D). $ a^0 = 1 $ dengan $ a \neq 0 $

Jawaban No. 3 :
~ abcd

Nomor 4.

Kesamaan $ a^{f(x)} = a^{g(x)} $ terjadi saat … ?
A). $ f(x) \neq g(x) $
B). $ f(x) = a $
C). $ a = g(x) $
D). $ f(x) = g(x) $

Jawaban No. 4 :
~ abcd

Nomor 5.

Kesamaan $ a^{f(x)} = b ^{f(x)} $ terjadi saat …?
A). $ f(x) = b $
B). $ f(x) = 0 $
C). $ f(x) = b $
D). $ f(x) = a $

Jawaban No. 5 :
~ abcd

Nomor 6.

Kesamaan $ h(x) ^ {f(x)} = h(x) ^ {g(x)} $ memiliki solusi saat kondisi dibawah ini,
KECUALI …?
A). $ f(x) = g(x) $
B). $ h(x) = 1 $
C). $ h(x) = 0 \rightarrow $ pangkat sama-sama positif
D). $ h(x) = -1$

Jawaban No. 6 :
~ abcd

Nomor 7.

Bentuk berikut adalah solusi dari kesamaan $ h(x)^{f(x)} = g(x)^{f(x)} $, KECUALI …?
A). $ h(x) = g(x) $
B). $ h(x) = – g(x) \rightarrow $ pangkatnya genap
C). $ h(x) = – g(x) \rightarrow $ pangkatnya ganjil
D). $ f(x) = 0 \rightarrow h(x) \neq 0 \text{ dan } g(x) \neq 0 $

Jawaban No. 7 :
~ abcd

Nomor 8.

Sifat operasi akar-akar berikut BENAR, KECUALI …?
A). $ p\sqrt[n]{a} \pm q \sqrt[n]{a} = (p \pm q) \sqrt[n]{a} $
B). $ \sqrt{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{a.b} $
C). $ p\sqrt{a} . q\sqrt{b} = (p.q)\sqrt{a.b} $
D). $ \frac{\sqrt{a}}{q\sqrt{b}} = \frac{1}{q} \sqrt{ \frac{a}{b} } $

Jawaban No. 8 :
~ abcd

Nomor 9.

Perhatikan bentuk akar dalam akar berikut:
(i). $ \sqrt{ (a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
(ii). $ \sqrt{ (a+b) – 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} – \sqrt{b} $ dengan $ a > b $
(iii). $ \sqrt{ (a+b) + \sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

Pernyataan di atas yang benar adalah …?
A). (i) dan (ii)
B). (i) dan (iii)
C). (ii) dan (iii)
D). Semua benar

Jawaban No. 9 :
~ abcd

Nomor 10.

Perhatikan bentuk perkalian berikut:
(i). $ (\sqrt{a} + b)(\sqrt{a} – b) = a- b^2 $
(ii). $ (p\sqrt{a} – \sqrt{b})(p\sqrt{a} + \sqrt{b}) = p^2a – b $
(iii). $ (\sqrt[3]{a} – b)(\sqrt[3]{a^2} + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a – b^3 $

Pernyataan di atas yang benar adalah …?
A). (i) dan (ii)
B). (i) dan (iii)
C). (ii) dan (iii)
D). Semua benar

Jawaban No. 10 :
~ abcd

         Demikian artikel tentang Soal Review Materi 1.9 Eksponen dan Bentuk Akar ini. Semoga bisa bermanfaat bagi sahabat
koma untuk belajar mempersiapkan kompetisi-kompetisi yang ada. Jika ada masukan, saran, dan kritik, silahkan tuliskan di kolom komentar ya. Semoga bermanfaat.
Terimakasih.